先细分，再求和——微积分初步思想渗透的教学实践与思考

◇邱月亮

先细分，再求和
——微积分初步思想渗透的教学实践与思考

◇邱月亮

小学数学教学内容相对简单，但在这些简单知识的教学过程中，只要我们深入挖掘、精心设计，往往可以渗透一些看似深奥的数学思想和方法。笔者曾以圆的周长、圆的面积教学为载体，向学生渗透高等数学中微积分的初步思想，并获得较为满意的效果。

一 教学实践

1.在圆周长教学中，让学生初步感知。

在圆的周长教学设计中，我特意让每个学生事先准备一个较薄的纸质圆片，并让他们独立思考如何求出圆片的周长。当然，学生会想出多种方法来解决，如课本上所示的滚动法，或用一根线沿圆片的边围一圈等办法量出周长。但笔者重点关注如下的方法，即把圆片多次对折，得到若干个相等的扇形，再把每个扇形的弧看作一条线段，量出其长度，最后乘以扇形的个数，近似地求出圆片的周长。如图1，把圆平均分成16份，并把每个扇形的弧看作一条线段，量得其长为1.5厘米，则圆的周长约是1.5×16=24（厘米）。

图1

对于这种方法，当提出的学生解释清楚之后，教师立即组织大家讨论，并达成如下的共识：这样平均分的次数越多，每个小扇形的弧就越可以近似地看作一条线段，所有这样的线段的长度之和也就越可以近似地看作圆的周长；当分的次数是无限多时，这无数条线段的长度之和就是圆的周长。

这种方法十分简单，学生很容易想到，整个过程我们可以简单地归纳为：先细分，再求和。

2.在圆面积教学中，让学生再次感知。

在圆面积教学中，教师引导学生用同样的方法，以实际操作和演算推导两个环节来求得圆面积的计算公式。

（1）实际操作环节。

组织学生讨论：我们能否像求圆的周长那样，用“先细分，再求和”的方法来求圆的面积？然后，让学生用任意的一个纸质圆片进行实验性操作，并讨论以下的问题：

①这里的“求和”是指什么？（所有小扇形面积的和）

②小扇形的面积怎么求？（把每一个小扇形近似地看作一个小三角形）

③每个小三角形的底和高分别可以用什么来代替？（扇形的弧和它的半径）

④我们这样的操作与计算，是否真的得到了圆的面积？（只是得到圆面积的近似值，只有当分的次数无限多时，这样的无限多个小三角形面积之和才是圆的面积）

（2）演算推导环节。

在上述实际操作及感性认识的基础上，师生共同运用以前所学的知识进行演算，推导出圆面积的计算公式。

假设我们把一个圆分成n份（这个n当然可以是一个要多大就多大的数），得到n个小扇形，把每个小扇形的弧看作一条线段，其长度分别是 a1，a2，a3，…，an，把圆的半径看作相应每个小三角形的高，那么，就可以计算出每个小三角形的面积，并求它们的和，再运用以前所学的乘法分配律进行如下的演算：

当得到结果以后，组织学生回顾整个圆面积的求得过程，以进一步感知“先细分，再求和”。

3.在解决问题的过程中，让学生尝试运用。

对于任何一种数学知识（特别是数学思想和方法），学生只有通过运用才能真正掌握。因此，在六年级的总复习中，笔者曾选了如下一道习题，一方面旨在复习相关的体积与表面积知识，但更多的用意在于让学生运用上述方法解决其中的关键问题。

如图2，圆锥可以看作由直角三角形以一条直角边为轴旋转而成。从图中可以看出，两条直角边的长分别是圆锥的高和底面半径，圆锥的侧面是由三角形的斜边旋转而成的，所以这条斜边在圆锥中叫作母线。已知圆锥的高、底面半径和母线分别是h、r和l，求它的体积和表面积。

图2

图3

不难看出，求圆锥表面积的关键是先求出侧面积，即侧面展开后所得的扇形面积。对学生来说，由于没有告知圆心角的度数，解决这个问题有一定的难度。但如果运用“先细分，再求和”的方法，就像上述求圆面积那样，能很快地求出侧面的面积，如图 3，即 S侧=πrl。

二 教学思考

在现实生活中，往往平凡现象的背后隐藏着某种规律，如苹果落地隐藏着万有引力。在数学中，有时也是这样的道理。上述“先细分，再求和”，虽然是学生“发明”的，方法简单，却寓意深刻。

1.简单中蕴含着“深奥”。

上述方法，虽然简单，但具有一般性。例如，求图4中阴影部分（曲边三角形）的面积，显然超出小学数学的知识范围，但若用“先细分，再求和”的方法就能解决它。

图4

我们先把这个曲边三角形以横坐标的方向从0到1分成n等份，这样就可以得到n个曲边小梯形（第一个曲边三角形也可以看作曲边梯形）。如果把n取成一个相当大的数，则每个这样的小梯形可以近似地看成是小长方形，它们的宽都是，长分别是（）2，其中 i=1，2，3，…，n。

这些长方形的面积和是：

比较这个曲边三角形的面积求得过程与上述圆、扇形面积的求得过程，本质上没有区别，只是前者需要比小学有更多的数学知识而已。用同样的方法，我们还可以求出圆锥的体积和球的体积。

其实，“先细分，再求和”只不过是微积分学中定积分基本思想的简单诠释。如果用所谓的高等数学知识来表述上述求曲边三角形面积的过程，那就是：

由此可见，尽管“先细分，再求和”简单，但它蕴含着深奥的数学知识。

2.数学活动经验的积累。

数学知识的获得是一个循序渐进的过程，特别是对于一些基本的思想和方法，只有在多次感受（或运用）的基础上，才能真正领悟其优越性，并掌握其要领。对于“先细分，再求和”，笔者的用意也是如此。虽然在圆周长、圆面积和圆锥侧面积等教学过程中，都是让学生接触“先细分，再求和”，但每一次各有侧重。第一次是在直观操作的基础上，让学生通过讨论与想象进行感知，只是一种初步的感知；第二次是在学生再次直观认识的基础上，通过演算推导提升到理性认识的高度，从而对这种方法有更深刻的认识；第三次，则是让学生通过问题的解决，来进一步体会到这种方法的优点。三次不同的感受，就“先细分，再求和”而言，学生在以后的数学学习中，如果遇到圆锥、球体积公式的证明，或者是微积分的学习，可能就会勾起对它的回忆，就会感到一点也不陌生。这或许就是数学经验，这样的教学过程，就是让学生积累数学活动经验的过程。

3.辩证统一思想的渗透。

“先细分，再求和”是一个分与合的过程。虽然分与合是两个不同的方面，但它们相互依赖。分的目的是为了合，而要合必须先分，分是手段，合是目标。从哲学的角度看，它是矛盾的两个方面，是辩证统一思想的体现。

这种思想及方法，无论是从数学的学习来看，还是从今后的人生发展来看，对学生来说都非常有益。例如，对于不规则图形的面积计算，我们往往会把一个非基本的图形分解成若干个基本图形，然后分别求出分解后所得图形的面积，以达到得出欲求图形面积之目的。在现实生活中，我们也常常把一项复杂的“工程”分解成若干个子“工程”，然后通过完成这些子“工程”来达到完成整个“工程”的目的。

事实上，在“先细分，再求和”的过程中，“有限”与“无限”也充分体现了这种辩证统一思想。

4.教学要关注“内容”以外的东西。

小学数学教学内容相对简单，但我们要以这些内容为载体，在教学过程中，关注一些教学内容以外的东西，因为这些教学内容以外的东西有时会比教学内容本身更有意义。就像圆的周长和面积，作为小学数学来说是一个非常重要的教学内容，但是，如果我们在教学的过程中，关注了诸如“先细分，再求和”等思想与方法，那么它对学生后续的数学学习、数学活动经验的积累以及认识世界等方法论的掌握都是极为有益的。也就是说，我们小学数学教师对自己的数学教学要有这样一种意识：站在源头，望着尽头。

（作者单位：浙江海盐县教育研究与教师培训中心）