探寻有意义的数学学习

魏俊晨+周卫东

[摘 要]“小研究”学习材料能帮助学生理清学习和研究的方法，激活学生已有的知识和经验，引领学生进行数学活动。以“公倍数和最小公倍数”为例，阐述学生在“小研究”学习材料的引领下，通过独立思考、合作交流和自主归纳，获得知识，最终实现有意义的学习。

[关键词]“小研究”学习材料 公倍数和最小公倍数 教学实践 数学学习

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）08-004

“小研究”学习材料作为自主学习的载体，能帮助学生理清学习方法和研究方法，促使他们自主探究，并在互动交流中解决问题、获取知识。这样的数学学习，不但能促进学生迅速成长，还能让学生实现有意义的学习。下面以“公倍数和最小公倍数”为例，谈在教学中运用“小研究”学习材料的实践与思考。

一、多法探求：自主中寻求突破

【教学片断1】认识公倍数的概念后——

师：请大家一起研究找两个数的公倍数的方法。

（出示学习要求；学生小组合作，尝试着完成小研究）

师：通过刚才的研究，你有没有什么要和大家交流的？

生1：我用列举法找6和9的公倍数，我先列举6的倍数，再列举9的倍数，在这个基础上找它们公有的倍数。

生2：我也是用列举法求6和9的公倍数。不过我是先列举6的倍数，再从6的倍数中找出9的倍数。这样的数就是它们公有的倍数。

生3：我赞同先写出其中一个数的倍数，再从中找出另一个数的倍数的方法。不过我认为我的方法更简便一些。我是先把9的倍数列举出来，再在其中找6的倍数。

师：这三种方法有什么相同和不同的地方？

生4：三种方法都采用了列举的方法，在找两个数的公倍数时，都是先从小到大列举并确保没有遗漏，再找出相同的数。虽然列举的方法不同，但结果一样。

生5：我觉得先列举较大数的倍数，从中再找较小数的倍数，能更快一些。

师：同学们在找两个数的公倍数时，需要根据具体情况选择方法，但不管哪种方法，找出来的公倍数应该是相同的。还有其他方法吗？

生6：我利用百数表，先圈出了6的倍数，再圈出了9的倍数，然后找出共同圈出的那几个数，就是6和9的公倍数。

生7：我是在数轴上找的，我也找到了6和9的倍数。

生8：我在预习的时候查到了两个数的公倍数可以用“韦恩图”来表示。

师：老师也带来了你提到的“韦恩图”，请你给大家介绍一下。

生8：我们先画两个椭圆，两个椭圆有一部分相交在一起。相交的部分填的是6和9的公倍数。这一部分里的数是6的倍数，但不是9的倍数；这一部分里的数是9的倍数，但不是6的倍数。

师：大家听明白了吗，还有什么要补充的？

生9：两个数的公倍数是最小公倍数的倍数吗？

生10：可以借助韦恩图回答生9的问题。从图中可以清楚地看出18是6和9的公倍数中最小的一个，其他的公倍数都是18的倍数。

生11：你的回答是对的。18是6和9的最小公倍数，其他公倍数一定是最小公倍数的倍数。

生12：两个数的公倍数一定是最小公倍数的倍数。我还可以再举一个例子证明。如6和10的最小公倍数是30，60、90也是6和10的公倍数，60和90也是30的倍数。

生13：在今天的研究中，我发现可以找到两个数的最小公倍数，但找不到两个数的最大公倍数。

生14：我赞同生13的观点，因为每个数的倍数的个数都是无限的，所有两个数的公倍数肯定有无数个，没有最大公倍数这个说法。所以画“韦恩图”时，省略号不能丢掉。

生15：两个数的最小公倍数和它们的最大公因数存在密切的关系，两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。

……

在这个教学片断中，学生进行了探究、讨论、发现、交流、补充等活动。探求两个数的公倍数和最小公倍数就是运用已有知识和经验解决问题，建立新概念的过程。学生已经在之前的学习中建立了倍数和因数的概念，会求一个数的倍数，“小研究”学习材料恰好提供了激活学生已有知识和经验，引领学生进行数学活动的平台，因此呈现出精彩纷呈的学习成果。在这个过程中，教师退居到幕后，鼓励学生大胆尝试、验证，使学生主动参与并沉浸在探究新知的过程中，获得对公倍数意义的深刻理解，体验获取新知所带给他们的快乐。汇报并展示后的比较，再次启发学生对探究活动中获得的认识和经验进行梳理，弄清不同方法之间的联系与区别，突出了对公倍数意义和找公倍数方法的理解和掌握。韦恩图的呈现，更简要地揭示了两个数的倍数、公倍数和最小公倍数的关系，有利于强化学生对找两个数公倍数方法的理解，提升了学生的思维品质。

二、辨析明理：比较中寻求规律

【教学片断2】学生初步建立最小公倍数和最大公因数的概念后——

（教师出示学习要求；学生分小组活动）

师：找到其中的规律了吗？谁来和全班同学分享一下你的研究成果。

生1：我是这样分的：5和15、21和7、11和33、60和12、12和1为一类；3和5、8和9、4和15为一类；4和6、10和15为一类。你们觉得我分得有道理吗？请大家提问题。

生2：你将5和15、21和7、11和33、60和12、12和1归为一类，是不是因为这里的每组数之间都存在倍数关系，所以存在倍数关系的两个数的最小公倍数是其中的较大的数？

生3：我确实是这样考虑的。大家知道我为什么将3和5、8和9、4和15归为一类吗？

生4：我也发现3和5是互质的两个数，它们的最大公因数是1，最小公倍数是这两个数的积。我还发现两个数的积和这两个数的最大公因数、最小公倍数的积是相等的。请大家课后想办法证明我的发现。

生5：我来补充，4和6、10和15归为一类，它们这两组数没有刚才两类数的特点，所以单独归为一类。

生6：我还发现，两个质数的最小公倍数一定是这两个质数的乘积；相邻的两个自然数，比如，8和9、9和10，它们都是互质的，它们的最小公倍数也一定是它们的乘积。

……

怎样让学生经历自主探索和合作交流的过程，并在这一过程中获得更多的自主发展机会与空间，使学生徜徉在有意义的数学学习中，是教师需要认真考虑的问题。上述教学片断中，教师给予学生充分的探究空间，提供了观察思考、讨论研究的平台。学生在“小研究”学习材料的引领下，通过独立思考和合作交流，自主归纳出两个数的最小公倍数的一些规律，加深了对最小公倍数的理解，也为以后学习约分、通分打下坚实的基础。其间，学生还展开了富有个性的思考，提出了有价值的猜想，同时要求其他同学课后去想办法研究……这些精彩瞬间，无不彰显着“小研究”学习材料在学生学习过程中所发挥的作用，这种作用，不只表现在“问题串”对学生的启发和引导上，更在于其为学生提供了相对独立的思考和探索空间，使他们得以展开富有个性的思考，而这往往又是课堂上仅通过师生对话难以实现的。

三、灵活运用：分层中寻求超越

【教学片断3】

（学生用多种方法找出答案，教师组织反馈和讲评）

师：他们再次相遇应该是几月几日？你是怎样思考的？

生1：4和6的公倍数依次是12、24……再次相遇的时间是1月13日。

师：求他至少要伐多少根木头，就是求什么？你能很快找到答案吗？

生2：求他至少要伐多少根木头，就是求6和7的最小公倍数，6和7是互质的两个数，所以，至少要伐42根。

师：你认为“光头强”有永远不掉下陷阱的策略吗？

生3：没有，无论每次跳多远，都能找到这个数与10的最小公倍数。

生4：在12米掉进了陷阱，说明每两个陷阱之间的距离是12的因数。12的因数有1、2、3、4、6、12这6个，所以，陷阱之间间隔的米数可能是这6个数中的一个。

……

练习的设计力图体现题材的趣味性和知识的层次性与结构性，用所学知识去解决实际问题，学生就能够带着兴趣进行分析与交流、讨论与计算，在交流的过程中暴露出不同的思维过程，在思维的碰撞中纠正、融合，从而达成共识。“跑步训练”问题为学生提供了多层次的思考方式，或借助月历列举，或通过表格列举，或直接求4和6的最小公倍数，这些都能满足不同学生的学习需求，使学生进一步获得对找两个数的最小公倍数的丰富体验，感受两个数的最小公倍数的应用价值。“排木料”问题能够让学生自觉应用所发现的规律解决问题，有利于学生更好地掌握求两个数的最小公倍数的方法，培养了学生分析和解决问题的能力。“陷阱”问题更是在呈现问题的同时留下悬念，引导学生自觉从数学的角度展开思考讨论，促使学生准确把握现实问题背后的数学本质，加深学生对最小公倍数的理解，让学生发展思维能力，提升学习能力。

（责编 金 铃）