一类抽象函数的积分问题

李庆娟（大连财经学院　基础部，辽宁　大连　116622）



一类抽象函数的积分问题

李庆娟
（大连财经学院基础部，辽宁大连116622）

摘要：定积分的计算方法有很多，熟练掌握它的计算方法和技巧在定积分学习中是非常重要的，本文主要是就一类抽象函数的积分求解问题进行探讨.

关键词:定积分；换元；中值定理

定积分是一种特殊和式的极限问题，它来源于实际问题并应用到实际问题上，定积分的算法有很多，最基本的是牛顿-莱布尼茨公式，典型的计算方法有第一换元法（凑微分），第二换元法（如倒代换，三角代换等），分部积分法，有理函数的积分法等等.在计算定积分时，被积函数的表达式往往是知道的，根据具体的题目可采用不同的方法，但有时候我们会遇到一类抽象函数的积分问题，即在不知道函数的解析式的情况下，求解相应的积分问题，下面主要以实例分析的形式进行探讨.

解从问题出发，可以利用凑微分和分部积分法进行处理

解这个题目与上个题目类似，已知条件中并没有给出函数f(x)的解析式，其实并不需要先求出它的具体表达式，根据已知条件也求不出来，从已知的第二个等式出发，利用凑微分和分部积分法可得

所以f(0)=3.

例3设函数g(x)连续，且满足g2(x)=4g(x)，证明：

证明换元令x=2t，并且由已知条件g(2x) =4g(x)得，（定积分性质）

进一步，由积分区间可加性可知

分析本题中的f(x)是无法从已知的关系式中得到的，也无需这样做，首先考虑到在已知等式中，变限积分的被积函数中含有参数，应将其变换到积分上下限，从而进一步寻找的计算方法.

解换元令2x-t=u，则dt=-du，则

进而两边关于x求导

分析由已知条件，根据积分中值定理直接可得，存在点ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=0，但问题不是这么简单，我们可采用同样的思想，为了证明f(1-η)+f(η) =0，则必须想办法使被积函数出现f(1-x)的形式.

将首尾两个等式相加，再由定积分的线性性质可得

进而，由积分中值定理可得，至少存在一点η∈(0,1)，使得f(1-η)+f(η)=0.

通过对以上具体实例的分析，我们掌握了含抽象函数的定积分的求解方法，虽然说不同的题目我们采用了不同的解题方法，但万变不离其宗，最终都演化到定积分求解的基本方法上来，所以只有我们熟练掌握定积分求解的基本方法和技巧，遇到任何问题时方能迎刃而解.

参考文献：

〔1〕潘福臣，李庆娟，等.高等数学[M].吉林大学出版社，2014.

〔2〕邵剑.高等数学专题梳理与解读[M].高等教育出版社，2008.

〔3〕同济大学应用数学系.高等数学第五版[M].高等教育出版社，2001.

〔4〕刘坤林.微积分（上）[M].清华大学出版社，2005.

〔5〕吴传生.微积分[M].高等教育出版社，2009.

收稿日期：2015年11月1日

中图分类号：O177.6

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2016）01-0005-02