从一道物理问题及其变形到几类积分概念的建立

李盈科，德娜·吐热汗，葛　清（新疆农业大学　数理学院，新疆　乌鲁木齐　830052）



从一道物理问题及其变形到几类积分概念的建立

李盈科，德娜·吐热汗，葛清
（新疆农业大学数理学院，新疆乌鲁木齐830052）

摘要：以一道物理问题及其变形为背景，通过这些问题的深入解决，逐步引入高等数学中几类常用积分概念.随着问题的横向展开，把高等数学中常用积分概念巧妙地联系在一起，使初学者认识到各类积分概念的共性，联系，同时认识到各类积分概念的差异，从而准确把握、学习各类积分概念.

关键词:物理问题；变形；几类积分概念

各类积分概念的建立是高等数学中微积分部分教学中非常重要的奠基性工作.积分概念是人类伟大智慧的结晶，它集聚了科学的思维方法，是培养理性思维的重要载体，是学习其他自然科学和工程技术的重要基础.以往教学中学生学了积分后，往往只会停留在机械地求积分运算层面，而在应用积分思如在大学生数学建模竟赛中）去处理一些实际问题时就会显得逊色许多.究其原因，我们认为主要是学生没有理解诸多积分概念的精髓，概念混淆，没有有机地梳理、串在一起，从而没有抓住其主旨思想.2014年暑假，我们有幸参加了西安交通大学与新疆大学在乌鲁木齐举办的2014年全国高等学校非数学专业大学数学基础课教师暑期研修班，聆听了马知恩教授，王绵森教授，李继成教授等对大学数学中各个板块的疑难问题的深刻讲解，受益匪浅.同时在反思以往教法的基础之上，通过对一道物理问题的不断变形的解决，引出了高等数学中几类积分概念，从而把它们串联起来，发现效果较好（如在期末课程总结中）.

为了讨论方便，我们总假设以下提到的各类密度、力、流量函数等为所讨论区域上的连续函数，曲线、曲面为光滑的.下面以一道物理问题及其变形的解决来引入几类常见积分概念，梳理如下：

1　直细金属丝的质量——定积分

问题1有直金属细丝的线密度为μ(x)，求位于区间[a,b]上金属丝的质量m.

若质量分布均匀，即μ(x)=μ为一常量，易知金属丝的质量为m=μ(b-a)；若质量非均匀分布，即μ(x)是一变量，我们期望借助于已知处理均匀量的方法，即在在微小局部把非均匀的量看作是均匀的（见图1）.于是有

图1　

①“分割”：在区间[a,b]中任意插入若干个分点a=x0

②“求近似”：在小区间[xi-1,xi]上将金属丝质量金近似看作是均匀分布的，即将此小区间上金属丝的线密度近似看作其中任一点ξi处的线密度μ(ξi), xi-1≤ξi≤xi.从而得到此小段金属丝质量的近似值

△mi≈μ(ξi)△xx, i=1,2,…,n.

利用这种处理问题的思想方法可以处理诸如曲边梯形面积、变速直线运动的路程等问题，它们在数量关系上共同的本质与特征概括为定积分的定义.

定义1[3]设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中插入若干个分点

把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi]，其区间长度为△xi=xi-xi-1,(i=1,2,…,n)在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与区间长度△xi的乘积f(ξi)△xi(i=1,2,…,n)并作和

其中f(x)叫作被积函数，f(x)dx叫作被积表达式，x叫作积分变量，a叫作积分下限，b叫作积分上限，[a,b]叫作积分区间.

有了定义1之后，自然地，金属丝的质量

2　平面金属薄片的质量——二重积分

问题2若直细金属丝被铸造成区域D上，面密度为μ(x,y)的平面金属薄片，求此金属薄片的质量m.

此问题的解决类似于问题1，也是“分割”、“求近似”、“求和”、“求极限”四步，只不过分割区间[a, b]换成了对区域D的分割，D分成了n个小闭区域△σi（这些小闭区域的面积也是△σi）（i=1,2,…,n）；第i个小块的质量近似值为△mi≈μ(ξi,ηi)△σi，其中坌(ξi,ηi)∈△σi(i=1,2,…,n)，取d为所有闭区域△σi的直径的最大值.此时

把这一形式的和式极限归纳出来，形成了平面区域上二重积分的概念：定义2[4].因此，此平金属薄片的质量为

3　空间金属体的质量——三重积分

问题3若直细金属丝被铸造成空间区域V上，体密度为μ(x,y,z)的金属块，求此金属块的质量m.

此问题的解决类似于问题1，不过转到了对空间三维体V的作用，把这一形式的和式的极限归纳出来，在空间区域上形成了三重积分的概念：定义3[4].因此，此金属快的质量为

4　弯曲细金属丝的质量——对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）

问题4若直细金属丝被铸造成平面弧形，线密度为μ(x,y)的金属构件L，求此弧形构件的质量m.

类似于问题1，对弧段L进行任意分割，L被分成了n个小弧段，设它们的弧长分别为△si(i=1,2, …,n)，第i个小弧段的质量△mi≈μ(ξi,ηi)△si，其中(ξi, ηi)是第i个弧段上任意一点.用d表示n个小弧段的最大长度，则此弧形构件的质量为

把这一形式的和式的极限归纳出来，在平面曲线上形成了对弧长的曲线积分的概念：定义4[4].因此，此弧形金属构件的质量为

5　弯曲的金属薄片的质量——对面积的曲面积分（第一型曲面积分）

问题5若直细金属丝被铸造成空间薄曲面片S，面密度为μ(x,y,z)，求此薄曲面片的质量m.

类似于问题1，直细铁丝变成了曲面S，相应的线密度μ(x)改为面密度μ(x,y,z)，小段直线的长△xi改为小块曲面的面积△Si，而第i小段直线上的点ξi改为第i小块曲上的点(ξi,ηi,ζi)，那么，所求的薄曲面片的质量为

其中d表示n个小块曲面的直径的最大值.把这一形式的和式的极限归纳出来，在空间曲面上形成了对面积的曲面积分的概念：定义5[4].因此，此薄曲面片构件的质量为

6　变力沿曲线做功——对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）

问题6质点受到变力F(x,y)沿平面光滑曲线弧L移动，求此力对质点所作的功W.

设质点在xoy面内受到变力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x, y)j的作用，沿光滑曲线弧L从点A移动到B.若问题为恒力F(x,y)=F沿直线L对质点作用，则作功为W=F|AB|.若为非恒力，则类似于问题1，分四步来处理：

①“分割”：在弧段L中任意插入若干个分点A=M0，M1，…,Mn=B，把L分成n个小弧段.

③“求和”：

其中d表示n个弧段的最大长度.可以看出，d越小，此近似值越高，从而有了④中的极限思想.把这一形式的和式的极限归纳出来，在平面曲线上形成了对坐标的曲线积分的概念：定义6[4].因此，变力F(x,y)沿平面全线L所做的功为

7　流向曲面一侧的流量——对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）

问题7稳定流体以变速度v(x,y,z)流向有向曲面∑指定侧的流量Φ.流体质量Φ.

设稳定流动的不可压缩流体以速度v(x,y,z)=P (x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k在单位时间内流向曲面∑指定侧.若各点以恒速为v的流体流经面积为A的平面，则流体流向此闭区域A的法向量v一侧的流量Φ=Av·n.若为非恒速，则类似于问题1，分四步来处理：

①“分割”：把曲面∑分成n个小曲面块△Si（△Si同时也代表其面积）.

②“求近似”：在第i个小曲面块上流向∑指定侧的流向的流量为

其中其中d表示n个小块曲面的直径的最大值.可以看出，d越小，此近似值越高，从而有了④中的极限思想.把这一形式的和式的极限归纳出来，在曲面上形成了对坐标的曲面积分的概念：定义7[4].因此以流速v流向曲面∑指定侧的流量为

把一根细铁丝铸造成直的、曲的、平面的、曲面的不同铸件，来求这个铸件的质量，实际上是把连续函数定义在不同的区域上，形成了上述7类积分的概念.认清区域的特点是区分上述7类积分的本质.

8　小结

通过一道物理问题及其变形，逐步建立了高等数学中几类常用的积分概念.只要确立了问题是定义在直线、平面、空间上的标量，就可以分别利用定积分、二重积分、三重积分的概念来进行解决；只要确立了问题是定义在曲线、曲面上的标量，就可以分别利用对弧长的曲线积分（第一型曲线积分）、对面积的曲面积分（第一型曲面积分）的概念来解决；只要确立了问题是定义在有向曲线、有向曲面上的矢量，就可以分别利用对坐标的曲线积分（第二型曲线积分）、对坐标的曲面积分（第二型曲面积分）的概念来进行解决.通过这中梳理，类比归纳总结，学生会对常用的定积分概念有一个清晰、准确的认识与理解.

参考文献：

〔1〕华东师范大学数学系.数学分析（第四版上册）[M].北京：高等教育出版社，2010.

〔2〕华东师范大学数学系.数学分析（第四版下册）[M].北京：高等教育出版社，2010.

〔3〕同济大学数学系.高等数学（第六版上册）[M].北京：高等教育出版社，2011.

〔4〕同济大学数学系.高等数学（第六版下册）[M].北京：高等教育出版社，2011.

〔5〕马知恩，王绵森.高等数学疑难问题选讲[M].北京：高等教育出版社，2014.

〔6〕陈辉，胡耀华.定积分概念的另一种引入方式[J].高等数学研究，2012，15（6）：39-42.

〔7〕张建，定积分概念的教学思考与实践[J].数学通报，2013，52（8）：21-25.

基金项目：新疆农业大学高等教学研究项目（2015JXGG07）

收稿日期：2915年10月19日

中图分类号：O13；O172

文献标识码：A

文章编号：1673-260X（2016）01-0007-03