突破相互制约 实现成功解脱——例谈多参数问题的处理策略



突破相互制约实现成功解脱——例谈多参数问题的处理策略

江苏省丹阳高级中学(212300)刘少卿

近几年的高考题不仅重视了对含参数问题的考查，而且似有参变因素多元化的趋势，这些参数之间相互制约，相互影响，“牵一发而动全身”.此类问题分析要求高、思维难度大，学生常陷于盘根错节的参数关系中而无法理清头绪，或者难以确定突破方向而无从下手，或者盲目下手，因繁复不堪而后继乏力.如何引导学生从多重变化因素中解脱出来？应引起人们的思考、探索与关注.笔者对此作了初步的探讨.

一、从诸多变化因素中恰当消去参数

解决含有多重变化因素问题的主导思想是善于洞察具体问题的特点，尽量减少参变因素.其途径之一就是恰当消参.

例1设a>b>c，且a+b+c=0，求抛物线y=ax2+2bx+c被x轴截得弦长l的取值范围.

二、从诸多变化因素中剔除假变因素

有些问题中变化因素纷繁复杂，但只要静心考察，便可发现有时某些似乎变化的因素只是“凑凑热闹”而已.其中有的是利用题设条件便可剥去变量的“外衣”而转化为可以待定的常数(即为假变数)；有的尽管变化不定，而实质上对问题的研究没有丝毫的影响.如能排除这些“假变因素”，便能减少参变因素，揭开问题的本质，有利于问题的解决.

例2已知直线l1⊥平面M于定点B，l2是平面M内过定点A而不过点B的任一直线，AB=a.在l1,l2上分别有动线段PQ=p,RS=q(p,q为定值).试问在什么情况下，四面体PQRS取得最大体积？其最大体积是多少？

三、从诸多变化因素中窥探不变因素

动中求静、变中求定是解决数学问题的重要思想方法.这在解决含有多重变化因素的问题中更有其特殊的功效.

例3当实数a,b变化时，直线l1:(2a+b)x+(a+b)y+a-b=0与直线l2:m2x+2y+n=0恒有一个相同的公共点.问点(m,n)应在怎样的曲线上？

四、从诸多变化因素中挖掘直观因素

对于“含参”问题一般较为抽象，解题中应充分运用函数的图像、善于根据数式构造图形、借助几何知识或抓住某些参数的几何意义等手段，力求使抽象问题具体化、直观化.

五、从诸多变化因素中分清主变因素

多参数问题含有两个或两个以上变元，我们在解题进程中，可视其中一个为主元，其余视为参数，便可降低思维难度，化多元问题为一元问题.

(1)求实数a的值所组成的集合A；

分析：本题含有3个参数a,m,t，可在不同解题阶段确立不同的主元，隐去另两个参数，即可化为单参数问题.

∵对x∈[-1,1]，f′(x)是连续函数，且只有当a=1时，f′(-1)=0，以及当a=-1时f′(1)=0.

∴A=[-1,1].

六、从诸多变化因素中寻求制约因素

在诸多变化因素之间，往往满足某种特定的条件或存在某些隐含的制约因素，如能理顺有关变元之间的关系并且充分地加以运用，就可在“多参”、“多变”中穿梭自如，不至于迷失方向.

例6(2007高考江苏题)已知{an}是等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，a1=b1,a2=b2≠a1，记Sn为数列{bn}的前n项和.

(1)若bk=am(m,k是大于2的正整数)，求证：Sk-1=(m-1)a1；

(2)若b3=ai(i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列{bn}中每一项都是数列{an}中的项；

(3)(略).

分析：题中涉及的参数较多，有等差数列的公差d，等比数列的公比q以及m,k，令人眼花缭乱，无从下手.但如果考虑到⑴⑵所要证明的结论都仅与等比数列有关，而在已知首项的前提下，等比数列的关键制约因素是其公比q，因此可以认为q是众多变化因素中的制约因素，解题思路可紧紧围绕q展开.

证明：设{an}的公差为d，由a1=b1,a2=b2≠a1，知d≠0,q≠1，d=a1(q-1)(a1≠0).

(2)b3=a1q2,ai=a1+(i-1)a1(q-1)，由b3=ai，所以q2=1+(i-1)(q-1),q2-(i-1)q+(i-2)=0,解得，q=1或q=i-2，但q≠1，所以q=i-2，因为i是正整数，所以i-2是整数，即q是整数.

设数列{bn}中任意一项为bn=a1qn-1(n∈N+)，设数列{an}中的某一项am=a1+(m-1)a1(q-1)(m∈N+).

(3)(略)

综上所述，解多参数问题的着眼点在于减少变元个数，化繁为简，变难为易，由此出发，就可产生诸多解题策略.只要我们在减元转化上下功夫，就能突破多重参数之间的相互制约，实现成功解脱.