2013年辽宁理数第12题的探究



2013年辽宁理数第12题的探究

辽宁省抚顺市第一中学(113001)富春江房晓南洪恩锋

随着新课程标准的实施,以高等数学知识为背景的题目已成为各省市高考卷中的一道风景线,这类题目形式新颖多变,既能开阔学生视野,又有利于完成高等数学和中等数学的衔接,倍受命题者青睐.因此,在教学实践中教师不仅要掌握传授这类题目的初等化解法,更应透过高等知识背景,认识其本质.本文是笔者在研究2013年辽宁理数12题时,通过对学生的答题状况的调查分析,类比衍生出高等观点背景下的一个一般性结论,恳请同行补充修正.

A.有极大值,无极小值

B.有极小值,无极大值

C.既有极大值,又有极小值

D.既无极大值也无极小值

点评:本题主要考查导数及其应用,导数的运算,函数的极值.客观的说,本题看似条件简单明了,细品却回味无穷,区分度较大,无愧一道压轴选择题,备受好评.

针对这道高考题的答题情况,笔者进行了统计分析,有这样两组结果引起了笔者的注意.

结果1很多考生能够得到结果f′(2)=0,故首先排除D,大多数选了A或B,这种 “想当然”正是考生对函数稳定点与极值点定义的不清.(可导函数的极值点一定是稳定点,但反之不成立,例f(x)=x3中x=0是稳定点但不是极值点)

反思:在结果2中,考生通过类比思想,化未知为已知,是一种非常值得借鉴的解题方法.但其解题思想的背后,是否隐藏着什么必然关系呢?是否可以顺着思路将结论一般化呢?笔者通过一些特殊函数的举例验证,得出如下一般性结论:

设f(x)在x0处具有n阶连续导数,且 f′(x0)=f″(x0)=…=f(n-1)(x0),f(n)(x0)≠0, 那么,

(1)当n=2时,若f″(x0)<0时,x0是极大值点;若f″(x0)>0时,x0是极小值点;

(2)当n≥3时,若n为偶数时,x0是极值点;

若n为奇数时,x0不是极值点.

当n为偶数时,(x-x0)n>0,由(1)式可得f(x)-f(x0)与f(n)(x0)同号,故

当f(n)(x0)<0时,f(x)

当f(n)(x0)>0时,f(x)>f(x0),x0是极小值点.

当n为奇数时,(x-x0)n在x0的左右两边改变符号,由(1)式可得f(x)-f(x0)与f(n)(x0)在x0的左右两边也改变符号,故x0不是极值点.

行文至此,客观的说,衍生的这个一般性结论是判断极值点的一把利器，可以极大的降低思维强度，运作机械，无论难度再大的变形试题也可迎刃而解.笔者斗胆猜测，也许命题专家的思路源泉正是出于此结论.

参考文献

[1]华东师范大学数学系编.数学分析[M].高等教育出版社，2001年.