浅谈数学概念教学

吴中才

【摘要】数学离不开推理，推理又离不开判断，而判断又是以概念为基础的.因此，数学概念在数学推理与数学教学中有着至关重要的作用.针对概念获得的两种基本方式——概念形成与概念同化，概念教学通常包括四个主要环节：概念的引入、概念的形成、概念的明确（辨析）、概念的精致.

【关键词】概念；数学概念；概念教学

概念是反映事物本质属性的思维形式.正确的概念是科学抽象的结果.人们在实践的基础上得到了丰富的感性认识材料，经过去粗取精、去伪存真、由此及彼、由表及里的改造过程，舍掉了事物的一些次要方面，保留了事物的本质属性，形成了概念.

例如“积分”的概念，分割→求和→求极限，其中分割要求无限细.将区间等分并不是它的本质特征，只要让所有区间的长度均趋近于0即可.而教材给出的两个例子（一个求曲边三角形的面积，一个求变力做功）都是采用等分的办法，在这两个例子的基础上讲述积分的概念，就需要澄清区间的分割并不一定要等分，更要让学生明白为什么要等分（方便求和）.另外，取小矩形的高时，两个引例取的都是小区间的端点处的函数值，这也不是本质特征，其实在小区间内任取一点处的函数值均可作为小矩形的高，教学时也要让学生明白为什么取端点函数值（还是方便计算）.

数学离不开推理，推理又离不开判断，而判断又是以概念为基础的.因此，概念不清，数学推理寸步难行.所以，有人说概念是思维的细胞.

例如，两个平面平行的概念是我们研究两平面平行的判定和性质的基础，如果不清楚两个平面平行的概念，就无法证明两个平面平行的判定（运用反证法的思维起点就是定义），也无法研究两平面平行的性质定理了.

1概念的分类

数学概念分为两类：一类是对现实对象或关系直接抽象而成的概念；另一类是纯数学抽象物，这类概念是抽象逻辑思维的产物，是一种数学逻辑构造，没有客观实在与之对应，这类概念对建构数学理论非常重要，是数学深入发展的逻辑源泉.

例如，直线、平面、异面直线等就是直接抽象而成的概念；集合、函数、方程等则是纯数学抽象物.

2概念的掌握

概念的掌握又称概念的获得，一般有两种基本方式──概念形成与概念同化.这里，概念形成侧重指由具体到抽象、由特殊到一般、经过分析综合去掉非本质特征，保留本质属性的过程.概念同化则指依赖学习者认知结构中原有的概念，以定义的方式直接向学习者提示概念的本质属性的方式.前者更适合低年级学生，后者更适合高年级学生.在下面的“概念的形成”环节，包括概念形成与概念同化两种不同的获得方式.

认识论原理告诉我们，人们不可能一次地和孤立地认识一类事物的本质特征，而是用联系的观点，并且要经历一个由感性到理性的发展过程.因此，我们不能孤立地来谈论概念教学，应该把概念放到整个体系中去考察，但要分阶段处理.

例如，“函数”在初中是从运动变化的角度，用变量的观点进行定义的，主角是变量，而变量往往有着一定的实际意义；高中则是以集合论为基础，用对应（映射）的观点进行定义的，突破了变量的局限，如理解y=1是否是函数，理解数列是特殊的函数，用映射的观点就容易理解了；到大学还会讲到隐函数，将函数与方程联系起来了，同时还要注意到函数与方程的区别.同一个概念在不同阶段可以得到不同的发展，但在不同阶段也应当有不同的教学要求.

3概念的教学

概念教学一般有四个主要环节：概念的引入、概念的形成、概念的明确（辨析）、概念的精致.

概念的引入一般结合学生已有的知识经验和生活经验，让学生感受到学习概念的必要性，体会到概念的作用.常常采用从类比引入、从旧知引入、从需要引入等方式.例如，球的概念可以类比圆的概念引入，二面角的概念可类比平面角的概念引入.

在概念的形成环节，要引导学生思考、概括，促进学生对概念的有效同化，可以从以下几点设计教学：（1）向学生提供适当数量、适当强度的刺激模式，以便于学生分析、比较；（2）让学生进行充分的自主活动，使他们有机会经历概念产生的过程，并从共同属性中抽象出本质属性；（3）概括成概念后，教师适当引导学生对认知结构中的新旧概念进行分化，并将新概念纳入到已有的概念系统中去.

概念的明确需要从概念的内涵和外延两个方面来考虑.明确概念之后，还要把概念纳入到概念体系中，去明确概念间的关系.

概念的精致实质上是对数学概念的内涵与外延进行尽量详细的“深加工”，对概念要素与关键词进行具体界定，获得概念的某些限制条件，以使学生建立更清晰的概念表象，对概念的细节把握更加准确，等等.概念的精致通常表现为对各种可能的特例进行剖析，分析可能发生的概念理解错误，理解概念的各种变式，还包括掌握概念的多元表征（如形象表征、符号表征等），并能在各种表征间灵活转化，这也是数学概念教学的基本策略.

下面看一个“函数极值”概念的教学设计案例：