证明的作用和挑战对数学教学的影响

吴道春

【摘要】上个世纪，人们重新审视数学的本质，出现了很多的关于证明的观点，如：“证明是数学实践的反映”，“证明是促进数学理解的一个极其重要的工具”，“证明可以用来交流数学理解”等.最近，证明在数学和数学教育中的作用受到了质疑，甚至有人预测，证明将消失.这种质疑来自数学内部、数学教育、社会价值和经验科学的挑战，对数学教学产生了重要影响.

【关键词】证明作用；证明挑战；数学教学

1证明的作用

证明在数学教育中的最重要的作用是认知建构和意义交流.然而，回顾20世纪五六十年代的“新数”运动，有一主流观点：中等学校的数学课程要更好地反映数学，必须强调形式逻辑和严格证明，因为：（1）在现代数学理论中，关于数学证明，存在着一些公认的标准；（2）严格证明是现代数学实践的特征.这两个观点都是错误的[1].首先，回顾关于数学的本质的一些主要论述，如：逻辑主义、形式主义、直觉主义和准经验主义等，就会发现，关于证明在数学中的作用和数学证明的标准，存在不同的观点；其次，审视数学实践，在数学家的眼中，与“认知和意义”相比，“严格”居于第二位，只有当证明能够促进真正的数学认知，它才合理和令人信服.

数学家接受一个新的数学定理，只有当定理满足以下条件：（1）他们理解这个定理（包括定理中的概念、前提和意义），而且没有迹象表明它是不正确的；（2）定理非常重要，对某个或几个数学分支有意义，使他们有充分的理由对之进行详细的研究和分析；（3）定理和公认的结果相一致；（3）定理的发现者是此领域的权威；（4）他们曾经遇到过关于此定理的令人信服的证明.在数学课堂上，教师们要传授给学生关于证明本身的更重要的作用，即强调认知建构和意义交流而不仅是形式演绎.

2历史的挑战

2.1来自数学的挑战

计算机对数学的发展起了巨大的推动作用，重新激起了数学家们对算法和离散方法的兴趣，增强了对构造性证明的依赖，出现了一些新的证明方式，主要有三种：（1）使用计算机构造或论证一些非常长的证明，如“四色定理”的机器证明；（2）零知识证明；（3）全息证明.于是，一部分人声称“证明本身即将灭亡”.

其实，以上三种证明本质上仍然是分析（演绎）证明，从这个意义上讲，它们还是传统的证明.越来越多的数学家们似乎正超越分析（演绎）证明的边界，转而使用计算机实验证实数学理论，如混沌理论和非线性动力系统.在美国明尼苏达州的几何研究中心，数学家们借助计算机，通过图形展示来研究四维超级立方体和其它图形或研究一些变化，如球体的旋转和碰撞.这些探索本身和传统的作为分析科学的数学并不矛盾，只是在从探索得出一般结论的时候，这些数学家们似乎回到经验科学的方法.这个几何研究中心创立了一个杂志《实验数学》，极力提倡计算机的使用.

这些新发展给数学家们和哲学家们提出了一些新的问题：这些证明代表着未来的发展方向吗？在数学中有一席之地吗？我们能够称它们是证明吗？数学家们应该接受那些很可能正确的数学命题吗？如果不能，它们的地位又是怎样的？实验证明和演绎证明之间的关系如何定位？数学家们还在继续讨论这些问题，而这正反映了证明在数学中的作用的重要性.

即使关于以上问题有了一致的观点，即使这个一致中仍有很大一部分存在分歧，数学家们都坚持证明的重要性.我们现在用新的证明方式做的一些事情，可能在将来不被认可，但证明本身仍是有活力的，借助技术的力量，数学家们创造了新的证明方法，甚至新的数学思维方式，但他们绝不会放弃证明的思想.

2.2来自数学教育的挑战

2.21“新数”运动

在“新数”运动之前，证明教学局限于几何，似乎是为了形式而教，而不是为了更深刻的数学认知，一些经典的证明没得到重视.20世纪50年代后期，受到数学的巨大发展，特别是能将很多数学分支统一起来的集合论的新发展，新数运动的兴起，数学教育界特别重视公理结构和证明并将它们引入数学课程，这使得证明教学远远超越了几何的界限.这一改革目的就是要促进数学认知，遗憾的是，没有达到预期的目标.自从“新数”运动失败后，在全世界的学校数学课程中，任何形式的证明的地位都渐渐地下降.这主要归因于课程改革和数学教育理论，数学教育家们对于证明的认识，而不是数学本身的创新.

2.22回到基础

“回到基础”的根基是行为主义学习理论，和布鲁姆、加涅、奥苏贝尔和沙利文等人的工作密切有关，尝试给学生确定恰当的行为目标，促进“掌握学习”，这是一个有计划的学习方式，重视一些非常特殊的技巧，如算术、算法和某些问题的一步一步的解题步骤，但忽视了证明和其它形式的论证.

2.23新兴学习理论

在“回到基础”之后，又出现了“发现教学”、“合作学习”、“问题解决学习”和“课堂交流”等新兴学习理论，虽都没有被普遍接受和推广，但都对课程有过重要影响.虽然，它们都没有特意反对证明教学，但它们确实转移了对证明的重视.

2.24建构主义

20世纪90年代，最有影响的数学教育理论是“建构主义及其各种形式”，强调知识不能被传授，必须以学生为中心，由学生自我建构.建构主义引入数学课堂，削弱了教师在课堂上的重要性，这对证明教学不利.建构主义提倡教师不要给出数学证明或在论证中扮演主动角色，只要给学生提供有限的帮助，让学生自己论证，不用干预，教师扮演着“调节者”的角色或者说“中立角色”.这种“中立角色”是有问题的，我们希望培养学生探究问题和进行论证的能力，这需要教师进行引导和对学生的不同的判断加以确认和评价，促进他们协调认知、分享知识和方法.研究证明，教师在帮助学生理解“为什么需要证明”，“怎样证明”和“证明是否正确”的过程中的作用至关重要，期望学生重新发现复杂的或创造性的证明方法是不现实、不高效的，故意回避教师的帮助，似乎不明智，学生需要教师的积极的介入.

2.25拉卡托斯的影响

匈牙利数学哲学家拉卡托斯认为数学的本质是拟经验的，数学理论是可猜测的、可证伪的，他的观点使得许多数学教育者认为应该将形式化的数学从课堂上消除，鼓励学生进行探索性的分析证明.美国数学教师协会在数学教学专业标准中发起倡议，提倡学生间的课堂交流，削弱了教师的作用，削弱了形式证明的地位.

很显然，上述观点和做法是错误的，教师的作用上文已阐述，而形式证明对判断和发展数学理论很重要.虽然有的数学理论是不可被证明或可证伪的，但这只是丰富多彩的数学体系的一个局部，如果数学课程只局限于这一局部，就不能更好地反映数学实践.事实上，形式证明也可以为公认的理论和定义提供反例，例如，德国著名数学家哥德尔的不完全性定理证明，如果不使用复杂的符号和形式逻辑系统，他就不能创造这些证明.

2.3社会价值的影响

社会价值发展的取向之一是认为真理是社会建构的，不屈服于权威.传统的、欧几里德式的证明被拉卡托斯等人认为是权威主义数学的核心，以建立一个权威的、可靠的、无可辩驳的数学体系为目标；在数学教育领域，证明特别是严格的证明，被看成是由权威机构掌握的控制机制，帮助他们将预先确定好的、可靠的知识体强加于学生.

事实并非如此，证明是一种透明的辩论，推理的依据和原则都是清晰的，经得起推敲的，这才是证明的本质.我们应当传递给学生这样的信息：（1）可以自己推理，不需要屈服于权威；（2）任何一个被证明了的数学理论都是相对的，不是绝对的，其正确性依赖于其假定的数学理论和推理原则，但证明可以增强数学的可靠性.因此，在课堂上，证明的使用实际上是反权威的.有人认为，证明要求学生接受权威的推理的原则，不符合社会价值的主流，这又把争论推到了一个新的、元数学的水平.那些质疑证明的作用的人，徘徊在反抗理性的边缘，希望他们不要质疑推理的原则，否则非常令人忧心.

有人认为课堂上的证明，特别是严格的证明，容易使学生觉得“数学是先验科学”，与“数学是社会建构的”相违背.其实，证明是为了寻求与当前公认的理论相容的理由，并不要求将数学看成是先验的.证明的严格是一个度的问题，在数学实践中，遵循实用主义原则，如果一个不严格的理论在问题解决中是有价值的，接受它就是一个很理性的选择，只有当数学家们意识到凭借当前的理论还不足以解决迫在眉睫的问题时，他们才会开始担心严格的缺陷.

总的来说，没有证据表明证明及其严格性与当前的社会价值相冲突.

2.4数学证明和经验科学

数学中的真理和经验科学中的真理不同，经验科学中的真理主要是通过日常生活中的操作建立的，数学中的真理具有经验的维度，但最终要通过证明建立.如，对于“三角形的内角和是180度”，通过测量知道一个三角形的内角和接近180度，但要确信对所有的三角形是需要证明.这在柏拉图和欧几里德时代很自然，但在实验和测量被认为是科学的方法论的基础的时代，这不如人意.为了解释，应当告知学生“他们所画的图形与几何定理中的图形本质上是不同的，前者是经验的实体，而后者是理想的实体”.

关于数学的本质，一直有两个流派，理性主义和经验主义.数学语言的使用对两者的区分很关键，一种是柏拉图-欧几里德语言，在描述真理、证明和直觉时使用，是一种理性主义的语言，体现了绝对确定性，尽管它有不尽人意的地方，但在交流中很有效且方便；另一种是口头语言，包括建模、应用、解释、数学化等，这一语言的产生基于数学理论本质上是某种现象域的模型，其确定性依赖于模型的内部原理[2].爱因斯坦认为“指向现实的数学定理是不确定的，确定的数学定理不是指向现实的”，我们也要让学生明白.

对证明在数学化的经验理论中的作用有两种理解.一种是静态的，将经验理论看作原理和测量的网络，原理是关于测量的描述，其正确性不是绝对的，由证明而增强，由证明建立起来的演绎关系而联接在一起，当原理通过证明变成理论的一部分，它的检验和证实不仅通过直接的测量，还要通过证实了理论中的其它原理的测量，这将具有更高的确定性；一种是动态的，强调证明在经验理论的不同的发展阶段的作用不同，在理论产生的初期，证明主要是用来检验它的可靠性，合理性或有用性，后来证明的作用发生了改变，将源自假设的理论变成被证明了的定理，纳入公认的知识体系.

教学必须反映证明的这些不同的作用，不需要在每种情形下都讨论全面，应该采纳弗来登塔尔的“局部组织”的观点，将整体分解为各个部分，各个击破，证明有时把源自假设的理论变成定理，有时用来解释一个假设，有时可以解释或推广定理，有时可以发现新的定理，有时可能涉及经验维度.

3数学课堂上的证明

学术性数学和课堂数学教学不同，数学家们可以只关注数学的复杂性，而在课堂教学中，对每个新的数学课题，教师必须解释清楚证明和数学应用之间的复杂关系，他们必须以不同的水平处理证明教学，但这是很难达到的，因为教师必须找到将证明和它的应用联系起来的例子，而这在学术性数学中常常是没有这样的例子的.教师必须高水平地处理认识论的复杂性，数学教育面临着科学的和哲学的挑战.

从长远来看，我们期望课堂中的证明在某种程度上反映证明的所有作用，包括证实，解释，系统化，发现新的结果，交流，建构经验理论，探索定义的含义或假设的重要性，将一个众所周知的事实并入一个新的框架以一个新的视角观察它等，但这些作用和数学学习的联系程度各不一样，所以在教学中它们当然不应被赋予同等的权重[3].

课堂上最好的证明是有助于认知建构和意义交流的证明，不仅要知道它是正确的，还要知道为什么.因此，教师必须选择在形式上适宜特定的年级水平的教学方式和背景，可以是一个计算，一个直观的演示，一个有指导的并遵守一定的辩论原则的讨论，一个非形式化的证明或一个严格的证明，在不失完整性的前提下，可以暂时忽略证明的某些方面.

教师必须关注和区分论证性的证明和解释性的证明，以更好地适用教学的需要.论证性证明可以证明定理的正确性，常缺乏解释意义；解释性的证明和定理中的对象或结构的特征性的性质相联系，学生从中可以很明显地看出定理的结果依赖于这些性质，如果在证明中的一个地方，以一个不同的对象做替换，这个定理就不成立了，学生还可以观察定理是怎样随着对象的改变而改变的.

数学的发展的根本目的不是为了“定义——定理——证明”的形式化的演绎，而是怎样发展人们对数学的认知，怎样使得人们更清晰、更有效地理解数学.需要指出的是，强调认知的重要性并不是在某种程度上否定形式演绎，事实上经得起推敲的细致的、形式化的演绎证明对数学的发展是很重要的，是数学发展的重要方式和形式.总的来说，证明既不是数学科学的核心，又不是可以消失的，一个致力于反映证明在数学中的作用的数学课堂甚至数学课程，必须将证明展现成是对数学的认知建构和意义交流的必不可少的重要工具.

参考文献

[1]Alan J. Bishop， M.A. Clements， Christine Keitel.（2003）.Second International Handbook of Mathematics Education.

[2]张乃达.数学证明和理性精神——也谈数学证明的教学价值[J].中学数学，2003（2）：23-27.

[3]史宁中，郭民.中学数学证明的教育价值[J].课程·教材·教法，2007（7）：11-18.