高中数学排列组合之列队问题方法探究

朱四样

摘 要：排列组合是一门源远流长的古老数学知识。在近几十年里，排列组合已经能够解决一些具有挑战性的问题，并且可以跨领域运用到物理学、生物学、化学等不同的学科研究中。同时排列组合也是高中数学中比较困难的一个版块知识。对排列组合的经典题型——列队问题解题方法进行探究，希望能给排列组合问题的解题策略与方法一点借鉴与思考。

关键词：高中数学；排列组合；解题方法

排列组合是组合学中最基本的概念，而排列指的是从指定元素中取出指定数量的元素进行排序，组合则是指从指定元素中取出指定个数的元素而不用考虑顺序。排列组合简单来说就是算出可能情况的总数。在高中阶段的排列组合问题中，虽然是依据分析计算，但是在考虑元素情况时经常会因考虑不全面而产生丢落和重复计算的情况。再加之排列组合问题相对比较抽象，因此在解题时常常不知从何下手。本文将对排列组合的基本原理进行阐述，并选取几道经典的列队题目对排列组合的解题方法进行探究。

一、列队问题的思维模式

在解决高中数学排列组合列队问题时，主要从两个方面进行分析，一是这个问题是单排问题还是多排问题；二是这个问题是单一条件限制问题还是多条件限制问题。如果是单一的条件限制问题那么就用单一的解题策略如捆绑法、插空法等加以解决；如果是多条件限制问题就要考虑几个方面，综合运用一些策略与技巧，综合性问题一般既有分步计数原理又有分类加法计数原理，分类时要考虑会不会重复或者遗漏，如果正面不好思考一般可以考虑问题的反面。如果是多排问题我们一般转化成单排问题后进行分段研究即可。

二、列队问题的关键词

在解题时，应注意一些关键词，这往往是解决列队问题的突破口。

1.“邻”与“不邻”问题

例1.7个学生站成一排，甲乙必须相邻的站法有几种？

这道题中的关键词“相邻”告诉我们这道题属于单一条件限制列队问题，需要我们采用捆绑的方式解决。这样我们可以先把甲乙看做一个“大胖子”。接下来需要用分步来解决，第一步我们需要给“大胖子”选择位置，由于甲乙捆绑成大胖子看成一个人，那么问题转变成6个人的列队问题，甲乙捆绑而成的这个大胖子可有C16=6种，剩下的5人由于没有限制条件，可进行有序排列，即A55=120种。第三步我们需要考虑被视为大胖子的甲乙两人的排序，即A22=2种。最后根据分布计数原理这道题的答案即为这三步方法数的乘积即C16A55A22=1440种。

2.“在”与“不在”问题

例2.7人站一排，甲乙不在两端的排法有几种？

这道题的关键词在于甲乙“不在”两端，因此我们可以首先考虑安排甲乙两个人，总共有七个位置，由于甲乙不能站在两端，那么中间剩下的五个位置都是甲乙可以站的，所以共有A25种方法，第二步考虑剩下的五个人的列队问题，由于剩下的五个人没有任何限制条件所以排好这五个人的方法数为A55，最后根据分步计数原理得出这道题的答案为A25A55=2400种。

3.多条件限制问题

以上两个问题限制条件比较单一，还以7人站一排的经典列队题为例，我们可以改装成多条件限制问题：例3.7人站一排如果要求甲乙必须相邻且甲乙不在两端的排法有几种？

我们还是把甲乙两个人捆绑看成一个大胖子，第一步我们先把两端的位置排好，共有七个人去掉甲乙这个大胖子那还剩下五个人，在这五个人里选两个人排在两端共有A25种方法，第二步把剩下的位置排好，由于甲乙看成一个大胖子相当于剩下四个位置要排共有A44种方法，最后一步甲乙这个大胖子还可以交换位置有A22种方法，根据分步计数原理这道题的答案是A25A44A22=960种。

若再增加限制条件题目难度随之增加，例4.7人站一排甲乙必须相邻且甲乙不在两端并且和丙不相邻的排法有几种？这个问题就需要我们考虑到分类问题，所有的排法分为两类，第一类丙在两端中的一个位置，有A12种方法，然后排甲乙这个大胖子因为两端不能排，又不能和丙相邻所以安排这个大胖子的方法数就只有A13种方法，接下来排剩余的四个人由于这四人没有任何要求所以共有A44，最后大胖子甲乙两个人还可以交换位置有A22种方法，所以第一类方法数为A12A13A44A22=288种。第二类丙不在两端，这时我们先排除了甲乙丙剩下的4个人方法数为A44，四个人形成三个空隙，然后把甲乙看成一个整体和丙相当于两个人插入三个空隙中的两个，方法数为A23，最后甲乙这个大胖子还可以换位置有A22种方法，所以第二类方法数为A44A23A22=288.根据分类计数原理这个问题的答案为288+288=576种。

4.多排问题

如果列队中是前后两排或三排那就是多排问题，这种问题我们一般转化成单排问题进行研究，然后再在单排里分段解决条件限制问题。例5.8个人站成两排，一排四个人，丙要站第一排且不站两端，甲乙要站第二排且不相邻，有多少种站法？我们可以把两排的八个人拉成一排，前面一排四个人就是左边四个位置看成第一段，后面一排四个人就是右边四个位置看成第二段。第一步解决第一段的排法，先排丙有A12种方法再排剩下的三个人，有A35种方法，第二步解决第二段的排法，先排除掉甲乙的两个人有A22，这两个人形成三个空隙再把甲乙插入三个空隙中的两个有A23种方法，最后根据分步计数原理这个问题的答案为A12A35A22A23=1440种。

以上是我对排列组合中列队问题进行的简单探究，在解题时必须分清属于哪类条件限制问题，是多排还是单排问题，充分考虑以上关键词，根据关键词所属的性质对症下药，选择相应的解题方法，综合运用分类与分步以及转化与化归等多种思维模式，

避免遗漏和重复。

参考文献：

凌皇周.关于高中数学排列组合教学方法探究[J].家教世界，2013（12）.

编辑 薛直艳