数学概念教学的三步骤：了解、理解、见解

在数学中，作为思维形式的判断与推理，一般以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础.正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.

数学教学的宗旨是使受教育者数学地认识事物，即数学地理解、数学地思考、数学地表达，这是一个螺旋上升的有机结构体系.

数学概念教学的三步骤，是指教师引导学生对数学概念的认识要历经了解、理解、见解螺旋上升、逐步深入的过程， 具体地说，就是数学概念教学首先要追溯概念的起源，了解数学概念的产生与发展，在此基础上加强概念的理解与欣赏，最后提出自己的见解，对数学概念进行反思、批判或是再创造.

一、了解——数学概念的产生与发展

（一）数学概念的产生

数学概念的生成应当是自然的，数学概念教学一要遵循学生的认知规律和认知水平，二要尊重数学概念产生的社会历史背景.

案例1：复数概念的产生

（1）要注意从两方面回顾数集的发展

一方面，从社会生活看，人们为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展变化着：为了计数的需要产生了自然数，为了测量的需要产生了分数，为了刻画相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数等；另一方面，从数学内部来看，数集是在按照某种“规则”不断扩充的.在自然数集，加法和乘法总可以实施.但是，小数不能减大数，为此引入负数，数集扩充到整数集.在整数集中，加法、减法、乘法总可以实施，对于除法只能解决整除问题，如方程3x-2=0就无解，为此，引入了分数，数集扩充到有理数集.在有理数集中，加法、减法、乘法、除法（除数不为0）总可以实施. 但是开方的结果可能不是有理数，如方程x2-2=0就无解. 为此引入了无理数，数集扩充到实数集.

（2）要深刻全面理解数系的含义

一个数系指的是一个数集连同相应的运算及结构，并不仅仅是数集. 从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新数得来的. 而且在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾.可见，数系的每一次扩充既要考虑数集的扩充，又要考虑相应的运算及结构.

（3）复数概念的引入水到渠成

在实数集中，虽然加法、减法、乘法、除法（除数不为0）总可以实施，也解决了正数开方的问题，但是我们又面临负数不能开平方的问题，这表明，数的概念需要进一步发展， 实数集需要进一步扩充！那么实数集应怎样扩充呢？为了使负数能够开平方，由于任何一个负数-a=a（-1）（a>0） ，所以，只要引入一个“新数”，使它的平方等于-1，因此，设“新数”为i，这样实数集就扩充到了复数集，而且按数系扩充的要求，实数可以与“新数”i进行四则运算，原有的运算性质保持不变.

实数可以与“新数”i进行加、减、乘、除四则运算，会产生哪些类型的“新数”呢？让学生自己“创造”出诸如2i，3i，-i， 3i+2，2-3i等等形式的复数，这些形式的“新数”能用一种统一的形式表示吗？让学生自己得到“符号”a+bi，（其中a，b为实数）；形如a+bi，（其中a，b为实数）的数叫作复数，全体复数所构成的集合叫作复数集. 这样复数概念的引入水到渠成.

（二）数学概念的发展

每一个数学概念都有一定的发展过程，不同学段的学生对同一概念的理解也应当是不同的，这是学生的认知水平和认知规律所决定的.如对于长方形与正方形的认识，在小学就认为正方形不是长方形，而到了初中就认为正方形是特殊的长方形.

案例2：函数的单调性概念的发展（以单调增函数为例）

（1）图象说

若函数y=f（x）的图象在某一段从左向右看是上升的，我们就说函数y=f（x）在这一段图象所对应的x的范围内是单调增函数.

（2）变量说

若函数y=f（x）的自变量x在其定义域的某一个子区间内增大时，因变量也随着增大，则称该函数在该区间上是单调增函数.

（3）符号说

若函数y=f（x）的定义域为A，区间I?A，若对于任意的x1，x2∈I，当x1

（4）导数说

如果函数y=f（x）在区间I内可导，若对于任意的x∈I，恒有f '（x）>0，则称该函数在区间I上是单调增函数.

单调增函数概念的“图象说”形象直观，是一种描述性语言，符合当时学生的学习心理和认知水平；“变量说”体现了因果变化关系，是学生易于理解的文字语言，“图象说”→“变量说”，从图形的描述到数量的变化，概念的理解深入了一层；但是，“y随着x的增大而增大”，怎么用更确切严谨的数学语言来表达呢？“y随着x的增大而增大”意思是说“只要x较大，其对应的y也就较大”，也就是“对任意的x1，x2∈I，当x1

由“对任意的x1，x2∈I，当x1

f（x1）0，即>0，而就是函数y=f（x）的导数，这表明，导数大于0与函数单调递增密切相关.

二、 理解——数学概念的理解与欣赏

（一）洞察概念之本：顾名思义

数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式. 这种反映形式用怎样的语言词汇来表达，是极其考究的，甚至要经过几代数学人的不懈努力与完善.

简易逻辑中“充分条件与必要条件”这一概念学生感到比较抽象，尤其是必要条件的理解有些困难.笔者在教学时设计了这样一个flash故事情境：一位数学家从一间办公室前走过，听到室内有两人在大声吵闹. 大款p对小秘q说：“有我p在，就有你q吃香的喝辣的！”小秘q很不服气，气急败坏地说：“你的底细我可全清楚，我完蛋了，你也完蛋了！”两个人都气急败坏，互不相让，这时数学家走上前，不紧不慢地说：“你们所说的正是数学逻辑学中的充分条件与必要条件问题，大款是小秘的充分条件，而小秘是大款的必要条件. ”这个小故事就很好地揭示了“充分条件与必要条件”的概念之本质，若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件. 这是因为只要p成立，q就成立，p对q来说就足够了，就充分了，所以，p是q的充分条件；但是若q不成立，p就不成立， q对p来说是必要的， 所以，q是p的必要条件.（当然，对这种社会现象教师要对学生进行正确的价值观引导）

（二）理解符号之意：追根溯源、类比联想、调整语序、直观形象

符号语言是数学中通用的、特有的简练语言，是在人类数学思维长期发展过程中形成的一种语言表达形式.其特点是抽象化和形式化，这也正是数学的魅力所在，但是符号语言毕竟很抽象空泛，那么数学概念中的符号语言该如何理解呢？

首先，追根溯源，搞清符号语言是如何产生的.数学符号语言又分为三种：象形符号语言、缩写符号语言以及约定符号语言.如几何学中的符号△、☉、∥、⊥、∠等都是原形的压缩改造，属于象形符号.缩写符号是由数学概念的西文词汇缩写或加以改造而成的符号，比如自然数N ， 实数R，虚数单位i，函数f，概率P（A）， 排列数A，组合数C，极限lim、正弦sin、最大max、最小min、存在?、任意?等符号均为此类.约定符号是数学共同体约定的，具有数学思维合理性、流畅性的数学符号，如运算符号+、×、∩，≌，∽，>，<等等.

其次，应用类比的方法理解符号语言也是一个不错的主意.如集合语言可类比于不等式符号和逻辑语言：A?B←→a≤b，A∩B←→p∧q，A∪B←→p∨q， RA←→?p[1].

再者，调整语句顺序，遵循固定搭配也是理解符号语言的好方法. 如?x1∈Df，总?x2∈Dg使得f（x1）=g（x2）”中“f（x1）=g（x2）”的顺序应该调整为“g（x2）=f（x1）”，这样“g（x2）=f（x1）”才能与前半句的“总?x2∈Dg，使得…”相对应. 整句理解起来更自然更顺畅.很容易揭示这句符号语言的本质是：函数f（x）的值域是g（x）的子集.当然，“?x，p（x）恒（都）成立”与“?x，使得p（x）成立”，这些属于固定搭配，不宜更改.

最后，“以形助数”，以直观形象化，克服符号语言的形式化与符号化，使得数学符号语言的理解变得轻松！如椭圆的离心率与椭圆形状的关系：离心率e越小椭圆越圆，e越大椭圆越扁.对此死记硬背，容易混淆搞错，但把这一规律形象化就简单多了.因为椭圆离心率e∈（0，1），如图1，e越小即越靠近0，因为0比较圆满，所以椭圆越圆，e越大即越靠近1，因为1比较扁平，所以椭圆越扁（可以把0和1写得夸张一些）. 这样椭圆的离心率与椭圆的形状关系就形象地牢牢地“画”在了学生的脑子里，永远不会忘记！

（三）欣赏概念之美：和谐平衡、严谨简洁

数学地认识事物的基本结构“定义概念—推导性质—建立联系—实践应用”就是一个螺旋上升、科学发展的和谐体系，枝繁叶茂、生机盎然的“数学之树”本身是和谐的，与大自然和人类社会也构成了和谐的生态系统.

古希腊数学家欧几里得以不加定义的原始概念（如点、线等）以及具有自明性并被公认的命题（公理）为出发点，利用公理化的方法建立成一个和谐的数学演绎系统.其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人叹为观止，是数学和谐的典范. 即便是后来的“非欧几何”——罗氏几何、黎曼（球面）几何，各自所有的命题也都构成了一个严密和谐的公理体系.每个体系内的各条公理之间没有矛盾，只是所研究的空间层次不同：在宏观低速的牛顿物理学中（也就是在我们的日常生活中），我们所处的空间可以近似看成欧式空间；在涉及广义相对论效应时，时空则要用黎曼几何来刻画.

从儒家的中庸之道到佛教的世界大同、天人合一；从物理学的能量守恒到当今社会的和谐科学发展，无不体现了阴与阳、正与负的和谐平衡.经过多年的教学，笔者越发感觉到数学中也有大量的阴与阳，如加与减、乘与除、正与负、增与减、正弦与余弦、正切与余切、奇（函）数与偶（函）数等等，再如余弦定理：在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则a2=b2+c2-2bccosA.这个公式是完全和谐平衡的，如cosA不能换成cosB，否则角C不答应；如果把2bc换成2ac，那么边b会感到不公平. 这些都体现了数学概念（定理）的和谐与平衡.

三、 见解——数学概念的反思、批判与再创造

对于数学概念，我们要在理解欣赏的基础上敢于质疑，善于反思、批判与再创造. 事实证明，对数学概念的反思、批判与再创造极大地推动了数学概念的发展，进而也推动了数学的发展. 下面举例加以说明.

（一）概念的反思

作为完成公理化结构的最早典范的《几何原本》，在逻辑的严谨性上也还存在着不少缺点.在其公理系统中有若干原始概念，欧几里得对这些概念都做了定义，但定义本身含混不清.另外，其公理系统也不完备，许多证明不得不借助于直观来完成.此外，个别公理不是独立的，即可以由其他公理推出. 1899年德国数学家希尔伯特注意到这些缺陷，在其《几何基础》中得到了完善.在这部名著中，希尔伯特成功地建立了欧几里得几何的完整、严谨的公理体系，即所谓的希尔伯特公理体系.随着时间的推移，数学家们发现欧几里得提出的五条公设的第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见. 由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走得对不对？第五公设到底能不能证明？基于对第五公设的不同看法，后来又出现了罗氏几何、黎曼（球面）几何等非欧几何.几何学的数学发展史告诉我们：正是要在理解欣赏的基础上敢于质疑，敢于挑战“权威”，善于反思与批判，才使得几何学得到进一步丰富与发展.

再如上述案例2函数的单调性概念的发展（以单调增函数为例）的“导数说”，事实上， 拉格朗日中值定理告诉我们：如果函数f（x）满足：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；那么在开区间（a，b）内至少有一点ε（a<ε0成立. 由条件知，对于任意的x∈（a，b），恒有f'（x）>0，所以，至少有一点ε（a<ε0，从而a-b与f（a）-f（b）同号，如果就取x1=a，x2=b（x1，x2∈I，且x10，如f（x）=x3在区间[-1，1]上单调递增，但是f '（0）≥0. 因此，函数的单调性概念的“导数说”，并不是数学意义上的概念，因为严格的数学概念中条件和结论应当是充要条件关系. 所以，苏教版高中数学教材选修2-2（2012年6月第3版）第28页的阐述是这样的：“……这表明，导数大于0与函数单调递增密切相关”，教材的这种说法还是留有余地的，它并没有说明二者具体是怎样的密切相关法.事实上，如果函数f （x）满足：（1）在闭区间上[a，b]连续；（2）在开区间（a，b）内可导，则f （x）在（a，b）上严格单调递增等价于

f '（x）≥0在（a，b）上恒成立且不存在（a，b）的任何子区间I，当x∈I时，f '（x）≡0.这些就是对函数的单调性概念的“导数说”反思后得到的较为深刻的认识.

（二）概念的批判

矩阵是高等代数下放到高中选修系列的一个概念，由于矩阵题目操作程序性强、易上手、得分高等原因而被绝大部分市级区域学校和师生所“青睐”，这本无可厚非，但现实教学中，教师不揭示知识的发生发展过程，学生只是被动地狂练；教师不揭示其中的数学文化与数学思想方法；学生只是“不知所以然”被灌输，因此，学生对矩阵的知识极易遗忘，高三复习时只是到高考之前解题程式才被强行唤醒，显然，上述“青睐”应试味道太浓，完全违背了这门课程的设置初衷及《普通高中数学课程标准》的基本精神，根本谈不上对矩阵问题的研究，值得引起我们的重视.

逆矩阵是《矩阵与变换》专题中一个重要的概念，如果对于一个变换矩阵A，存在一个变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先TA后TB）的结果与恒等变换相同，即BA=E，则称矩阵A是可逆的，B成为A的逆矩阵.苏教版高中数学教材选修4-2（2008年5月第2版）对于逆矩阵是这样定义的：对于二阶矩阵A，B，若有AB=BA=E，则称矩阵A是可逆的，B成为A的逆矩阵 [2].笔者认为根据逆变换的意义，只要有BA=E，就可以说矩阵A是可逆的，B称为A的可逆矩阵，没有必要把条件强化为AB=BA=E.事实上，如果对于一个变换矩阵A，存在一个变换矩阵B，使得连续进行两次变换（先TA后TB）的结果与恒等变换相同，即经历“走过去（A）”又“走回来（B）”的两次变换，最终还是回到原地A，那么，对于变换B的起点，当然可以先“走过去B”再“走回来A” 最终又是回到原地B，则AB=E，所以，B是可逆的，A成为B的逆矩阵.基于此，对教材中逆矩阵概念的建议是：其一，弱化条件. 对于二阶矩阵A，B，若有BA=E， 则称矩阵A是可逆的，B成为A的逆矩阵.其二，把“AB=BA=E”调整为“BA=AB=E”，两个概念一起给出. 对于二阶矩阵A，B，若有BA=AB=E， 则称矩阵A是可逆的，B称为A的逆矩阵，同时矩阵B也是可逆的，A称为B的逆矩阵.

（三）概念的再创造

这里所说的“概念的再创造”不是指数学概念的再创造教学法，而是在对于某数学概念有较深入的研究后，提出新的定义方法.如在解析几何中，斜率是核心概念，在充分理解与把握这一概念本质的基础上，可以利用这个概念，在坐标法思想指导下通过运算对圆、椭圆及双曲线概念进行再创造. 如：

在平面坐标系中，若动点与两定点A（-a，0）和B（a，0）连线的斜率之积是一个常数k（k≠0，a>0）.当k=-1时，动点的轨迹是圆（除去A，B两点）；当k=-（b≠a，b>0）时，动点的轨迹是椭圆（除去A，B两点）；当k=（b≠a，b>0）时，动点的轨迹是双曲线（除去A，B两点）[3].

综上所述，对于数学概念教学，如果我们能够注意引导学生追溯概念的起源，了解数学概念的产生与发展，在此基础上加强概念的理解与欣赏，最后提出自己的见解，对数学概念进行反思、批判或是再创造（当然并不是每一个数学概念的教学都要经历“三步骤”的完整过程，一般指核心概念），那么，行之有效、科学合理的数学概念的教学策略方法自然就会产生，在对数学概念的了解—理解—见解三步骤过程中，学生的数学素养、理性精神以及科学态度会在不知不觉中得到提高和培养.

参考文献：

[1] 吴宝莹. 把数学语言的学术形态转化为教育形态的几种方略[J]. 数学通讯，2013（2）：1.

[2] 苏教版高中数学教材编写组. 高中数学课程标准实验教科书·数学·选修4-2[M].第2版. 南京：江苏教育出版社，2008：50.

[3] 章建跃. 数学学习与智慧发展（续）[J]. 中学数学参考（上旬），2015（8）：7.