课堂巧生成教学更相长

许钦彪

课堂生成是指教师在课堂教学过程中，针对教学实际、学生学习状况和学生中出现的新思维、新方法以及存在的问题等，在原有的教学目标、教学内容、教学设计、教学方法的基础上进行及时补充、调整、完善课堂教学计划、方式的一种教学应变方法.

数学课堂教学的目的是在教师主导下让学生主体学习、理解、掌握数学知识，练习提高运用知识解决问题的方法能力，培养数学思维，形成数学思想.

从数学课堂教学质量和有效教学的要求来说，教学的主体是学生，教师的主导是为了引导学生高效地进行学习. 课堂教学效果是教与学的综合结果，需要主导和主体的共同参与和密切配合. 因而课堂教学必须符合课堂过程实际，符合学生的学习现状，重视学习反映出来的问题，及时进行有针对性地补充、调整、完善教学设计和教学方法，这就需要课堂生成.

从数学教师的要求来说，除了坚实的数学专业功底，扎实的教学基本功，还需要丰富的教学经验和有效的教学方法. 而经验、方法需要在具体的课堂教学实践中丰富、提炼、完善. 课堂生成教学方法就是一种良好的途径.

本文限于篇幅，仅以两个具体实例，来阐述如何进行课堂教学生成，以期抛砖引玉.

一、 三角函数求值的课堂生成

从课堂上的学生反应情况可见，这类三角函数求值问题，除了公式运用和解题方法需要练习掌握外，有关所给的条件，特别是隐含条件的处理和利用，对于大多数学生来说明显是个难点和弱点，而这恰恰是得到正确解答的重点和要点. 所以必须及时深入教学和延伸拓展. 意识到这一点，笔者随即调整了教学计划，把本来作为作业的两个题目作为讲练题在课堂中和学生一起研讨透彻，以利学生对这类三角函数的条件能充分重视并掌握正确解法.

先对以上问题给以完整解答.

可见，三角函数求值时，条件的利用，不能只看明显的条件，还要注意隐含条件，并且要不断挖掘，逐渐精确，直至准确解答.

教师对这类问题应重点指出：三角函数求值时，经常会遇到一类符号及多值的取舍情况，取舍的依据是所给的条件，条件分为明显条件和隐含条件两种，如果只看明显条件而忽视了隐含条件，就会难以取舍，产生遗漏、多值或者多加讨论，使问题变得残缺、复杂甚至陷入困境. 因而，仔细审题，发现和利用好隐含条件，正确判断和取舍，在三角函数求值中尤其重要.

进一步给出类似的讲练题.

可见，随着隐含条件的正确发现和应用，可以判断出、-是增根，正确的答案只有2α-β=-.

笔者认为，如果当时没有重视学生在解答题1中的错漏问题，继续按照原有的教学设计把教学重点只放在三角函数式变形、角度变换、公式的灵活运用上， 表面上看，掌握知识，灵活应用，方法能力上得到了提高加强. 但由于忽视了条件的挖掘和应用，问题的解决是不会正确完整的，也不符合数学严谨思维的要求.而通过发现学生的错漏，及时弥补、生成新的教学设计，辅以相关的问题，让学生充分注意到条件特别是隐含条件对于准确解题的重要性，通过练习和讲解，使学生在挖掘利用隐含条件方面得到锻炼和巩固，对于今后的数学学习，提高问题解决能力和培养正确严谨的数学思维，都是必须和必要的.

二、利用基本不等式求最值的课堂生成

基本不等式应用这节课原来的设计重点在于不等式的变形利用技巧. 笔者上课开始时为了让学生回顾上节课在介绍利用基本不等式求最值时强调的“一正、二定、三取到”的基本规范，给出了一个简单的训练题.

解法三：∵ab当且仅当a=b时取最大值，而a=b时，代入a2=3b2=12解得：a=b=±，ab的最大值是3.

原来预计大多数学生应该会用解法一，但课堂统计的情况是：解法一占50%，解法二占30%，解法三占20%. 这个统计结果使笔者认识到学生的注意力或许重在不等式的变形利用上，而对于如何保证取到最大值即等号成立，是模糊不清的，而这恰恰是求最值的关键和重点，也反映出了学生数学思维的纰漏和失误. 所以，笔者认为需要根据学生的实际情况，调整教学计划，充实如何保证取到最值的问题讲练.

先让学生对以上三种解法进行对错辨析，寻找思维误漏，形成严谨正确的数学思维. 经过分析，学生基本上形成了统一认识.

解法一过程严谨，解答正确.

解法二的错误在于推理ab≤6的过程中出现了两个“≤”，而两个“=”号要同时取到的条件是a=b=0，与a2=3b2=12矛盾，因此6是取不到的. 所以求最值时必须验证等号能否取到.

教师指出：这是忽视了最值必须切实取到的常见错误，一般在推理过程中出现了两个或以上的“≤”，要几个“=”号同时取到的机会就比较少.

解法三的错误是a=b时取最大值的前提是a2+b2或a+b要定值，没有定值这个前提，“a=b时取最大值”是不正确的.

教师指出：这是忽视了“和一定，积最大”的前提条件的典型错误，解题时应该充分重视.

为了进一步让学生纠正利用基本不等式求最值的失误，正确认识和掌握解决问题的方法，笔者补充了几则讲练题与学生进行正误辨析，以下是学生得出的正解和常见的典型错误.

题5：设x>0，y>0，且+=1，求x+y的最小值.

错解：由+≥，∴≤1，xy≥36，∴x+y≥2≥12，∴x+y的最小值为12.

错误的原因还是因为忽视了验证最值能否切实取到，事实上这里的两个等号是不能同时取到的.

正解：x+y=（+）·（x+y）=1+9++≥10+6=16. 当=即x=4，y=12时，x+y取最小值16. 这里巧用了+=1，这是常用和有效的的“1代换”技巧.

也有学生给出了以下解法：由+=1，得=，x=∴x+y=+y===（y-9）+=（y-9）++10≥16，当y-9=即y=12时，取到最小值.

这里用到了由已知x，y的关系，将所求式的双变量代换成单变量后，将其“凑合”成了可以用基本不等式的形式. 在肯定了这些学生解法的同时，也指出了应引起注意的问题，就是在利用基本不等式（y-9）+≥2·3时需要的条件：y-9>0. 在解答时必须予以严谨说明：由x>0，y>0，x=>0得y>9，∴y-9>0.

对于解法涉及的“凑合”也可以利用基本不等式的技巧，笔者及时生成了关于这方面的教学，并举例进行讲练.

题6：当x>1时，求y=的最小值和y=的最大值.

有了上面关于式子变形拆解“凑合”的提示，大部分学生比较顺利地得到了以下正确解答，并注意到了“一正、二定、三取到”的完整性.

对于初次应用基本不等式求最值的学生来说，此题不但有一定的变元、变式和技巧上的难度，而且当思维主要在技巧上时，也容易忽视“一正、二定、三取到”的基本规范而产生上述常见的错漏，因而这是一题理想的方法能力及辨析题.

学生得到的方法主要有以下两种.

解法一过程严谨，解答正确完整，方法是“1”代换.一般地，如果已知条件式是常数，经常可以把所求式“凑合”成条件式用常数代换，以简化所求式. 如果令t=，则0≤t≤，所求式将化成s=4t2+2t-1，更容易解决. 这是减元（把双变量或多变量化成单变量）的方法.

解法二表面上看没有问题，在后半部分用到了“减元”方法，化为二次问题解决，思维方法是好的，但前后两个过程产生了两个不等号，还是两个等号能否同时取到，即最大值能否取到的问题. 事实上第一个4x2+y2≥4xy要取等号，须2x=y=，这时t=.而第二个s≤要取等号，须t=，这与t=矛盾. 这就说明，s是取不到的.

至此，本节课在原来的教学设计基础上，由学生解第一个问题反映出来的错漏，生成了既切合学生主体学习实际而又符合教学目标的新教学过程. 在师生讲练探讨中，很好地解决了利用基本不等式求最值的重点、难点，认识纠正了典型常见的易错问题. 从课后的练习反馈情况看，教学效果明显提高.

总之，数学教学方法经验来源于课堂教学实践，教学的主体是学生，教师要根据学生主体参与的实际情况来主导教学过程. 也就是说，教师要在教学内容、教学目标、重点难点等预设教案的基础上，关注教学过程细节，有意识地主动积极发现学生学习过程中反映出来的普遍、常见、典型的问题，及时调整、补充、完善，生成符合课堂教学和学生实际，行之有效的教学方案，应用于教学过程.这样才能真正做到数学教与学的相互促进，实现教学相长，提高教学质量.