数学定理证明的“三部曲”

黄有达

【关键词】数学定理 证明方法 步骤

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）11A-0067-01

在初中数学教材中有很多关于定理的证明，在教学时有的教师为了节省时间，往往只是重视了定理的结论，而忽视了证明的过程，让学生错失了真正掌握其中蕴含的思想与方法的机会。教师要在定理证明中，充分发挥学生的主观能动性，并适时点拨，让学生全面理解和掌握证明所涉及的思想与方法，并实现动态生成，防止学生养成重结论轻过程的不良学习习惯，培养学生良好的数学素养和严谨的科学态度。

一、动手操作，感知结论，提供方法

对于定理的内容，学生可以通过猜想、观察、实验、操作等方式先行获得，学生在动手操作过程中能够初步得出结论，并将所运用的方法进行总结。动手操作得出的结论不一定正确，需要通过推理、验证来进行理论上的证实，这样也就体现出了数学的严谨性，不能想当然地认可动手操作的结果，因为这只是初步得到了表象的结论。但这一步又是不可或缺的，因为在操作中已经用到了证明需要的知识，从而为下一步证明提供了思路与方法。

如人教版八年级数学上册《三角形的内角和定理》在小学时学生就已经简单了解了，并且在初中阶段它上承平行线的性质与判定，下启多边形的内角和，对于学生知识的衔接、能力的迁移有着重要的作用。在教学伊始，教师可以让学生把三角形纸片利用剪、拼的方法将三个内角拼成一个平角，从而得出三角形的内角和为180°，在此基础上学生就可以得到初步的体验，那就是要证明三角形的内角和定理，可以考虑将其三个角剪拼成一个平角。这样的活动，为下一步的理论证明提供了实物模型，点明了思路与方法。在此背景下，教师可以提出，剪拼只是我们得到结论的一种方法，还不是数学知识获得最科学的方法，那么我们能否用推理论证的方法来验证这一结论呢？问题一提出，自然将学习引入了尝试证明的阶段。

二、尝试证明，理清思路，把握关键

学生在已有操作经验的基础上可以自主尝试证明定理，在证明时教师要引导学生规范证明的步骤，理清证明的思路，做到每一步都有理有据。同时，教师还需要注意观察学生所用到的方法，鼓励学生大胆尝试，开拓思维空间，并注意总结在证明中每一步所用到的理论依据，这样学生才能在不断地质疑补充中完善证明的方法。

学生尝试证明的前提就是前面动手操作时将三个内角拼成了一个平角，这样学生就会想到过一个顶点作对边平行线的思路。如对于ΔABC，可以过顶点A作对边BC的平行线，也可以延长BC，过顶点C作AB的平行线，这样再利用平行线的性质，就可以将三个内角转化到一起，从而证明得出结论。在充分肯定了学生证明思路后，又有学生提出了不同的看法，指出“由平行线是180°，我还想到了同旁内角”。这种说法一出，又为本来就要结束的证明掀起了一个小高潮。教师表扬了该生善于观察和认真思考的品质，并让大家思考该如何证明。学生在刚才作辅助线的基础上可以看出，第一种方法只需过点A作一条平行于BC的射线即可，第二种方法只需过点C作平行于AB的射线即可。这样的生成使学生的思维更活跃，并进行归纳总结：它们都是过一个顶点作对边的平行线，构建成平角或同旁内角来得出结论。这样也就为下一步的拓展延伸奠定了基础。

三、拓展延伸，适时点拨，渗透思想

教师适当的点拨能让学生的探究热情更高。学生对证明的方法进行全方位、多角度的探索能为下一步的学习积累更加丰富的经验，使学生在掌握知识的同时感悟其中的数学思想与方法，更好地将知识不断拓展与延伸。

在学生进行了尝试证明并总结出结论后，学生可以看到上述几种方法的共同点都是过顶点作平行线，于是有的学生就会思考：过其他点可以吗？由此就会出现“点在三角形内”和“点在三角形外”两种情况，这时教师完全可以放手给学生，让学生用已有的思路与方法进行证明，但由于画图比较复杂，在学生进行独立证明时教师还有必要进行适当的点拨。这样学生在证明时就可以积累更多的活动经验，既开拓了思路，又发散了思维，熟练掌握了解决问题的思想与方法，使课堂教学真正起到了活用教材、教活学生的目的。

总之，几何定理的证明是学生探究知识结论及其形成与发展过程的必要途径，让学生经历由生活中的模型到抽象的数学模型的过程，可以培养学生的空间观念，建立学生的模型思想；再经历将图形变式，从多角度来进行分析证明的过程，可以使学生的思维更活跃，并感悟到学习过程中所涉及的思想与方法，为后续学习奠定良好的基础。

（责编 林 剑）