浅谈数学思想在线性代数概念教学中的应用

李俊华 陈艳菊

摘要：线性代数中的概念是教学的重点和难点。本文主要介绍了在线性代数的概念教学中如何渗透转化与化归思想、建模思想、几何思想和类比思想等数学思想。通过数学思想的渗透，学生更深入地理解了概念，提升了数学思维能力。

关键词：线性代数；概念教学；数学思想

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）10-0181-02

线性代数是高等院校经济管理类各专业的数学主干课程之一，也是全国硕士研究生考试的必考课程，而概念教学是线性代数教学的重要组成部分，许多概念既是线性代数的重点也是难点，由于这些概念多且都具有较强的逻辑性和抽象性，学生学习起来有一定的难度。虽然部分学生机械地记住了某些概念，但因为没有真正理解概念的本质，学生或者容易忘记或者学完之后只会套用解题，不知道如何应用。因此在教学中为了让学生真正地理解概念，就不能忽略数学思想的渗透。在课堂教学中引导学生理解、掌握并学会运用概念中蕴藏的数学思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力，不仅能帮助学生更好地掌握所学知识，提升学生的数学思维能力，而且对教师教学水平的提高也会起到事半功倍的效果。本文结合转化与化归思想、建模思想和几何思想等数学思想，主要介绍如何在线性代数的概念教学中渗透数学思想的教学。

一、转化与化归思想

转化与化归思想是指把待解决或未解决的问题，在一定条件下通过近似、等价、变换等方法转化为已经解决或容易解决的问题，化难为易，化繁为简，从而使得问题得以解决，它是解决数学问题的基本思想，是解决很多疑难问题的钥匙，几乎渗透到了数学的所有内容中。常见的转化与化归方法有换元法、类比法、数形结合法、正与反的转化、整体与局部的转化等，转化与化归的关键有三个：明确化归对象、寻找化归方法、确定化归目标。线性代数中的很多概念都体现了转化与化归思想。在行列式内容中，行列式定义为一个特定结构的和式，行列式的计算最终转化为了求和问题，求元素的余子式、代数余子式的问题转化为求行列式的问题。在向量和向量组内容中，向量的线性运算转化为相应的分量（数）的运算，向量组的线性相关性转化为是否存在一组不全为零的常数使得成立，两个向量组是否等价转化为两个向量组能否互相线性表示。在矩阵内容中，矩阵的秩转化为向量组的秩，矩阵幂的定义则是先定义低阶幂，然后通过低阶幂来定义高阶幂，分块矩阵是借助了将高阶矩阵降为低阶矩阵的技巧来处理的，求线性空间中两组不同基之间的过渡矩阵的问题转化为求矩阵方程的问题，将可以相似对角化的矩阵转化为简单的对角矩阵，从而降低了计算难度。除此之外，线性方程组与其向量形式和矩阵形式之间的互化、基变换与过渡矩阵之间的互化、线性变换与其矩阵之间的互化、二次型与其矩阵之间的互化都体现了转化思想，而化二次型为标准形所做的可逆线性替换则是将一组变元转化为了另一组变元，这更是转化与化归思想的直接体现。在课堂教学中要时刻渗透转化与化归思想，向学生清楚地指明哪些概念中蕴含着转化与化归思想，重点讲解转化的方法和转化的目标。这就需要教师对教材进行深入地分析和研究，结合具体内容和学生实际，在教学中突出转化与化归思想的教学，并通过小结和复习，不断加强数学思想的教学。

二、数学建模思想

数学建模思想是指针对实际问题，通过建立相应的数学模型，运用恰当的数学语言和数学方法加以解决的数学思想，它是沟通数学与实际问题之间的桥梁，旨在培养分析和解决实际问题的能力。现在很多高等院校都已开设了数学建模课程，也有越来越多的人在关注数学建模竞赛。把数学建模思想融入高校数学主干课程中去已是大势所趋。线性代数的许多概念都非常抽象，如果离开了实例或应用背景而单纯地向学生传授抽象概念的话，学生会感觉枯燥无味，学习起来也很吃力。将抽象的数学概念和数学建模思想结合起来，让学生明白抽象概念背后的实际意义，既能提高学生的学习兴趣，对教学效果的提高也能起到事半功倍的效果。为此在将数学建模思想融入到线性代数的概念教学的过程中，应根据学生的实际接受能力，尽可能选取恰当的应用实例，将抽象问题生活化，从实际问题入手引入基本概念。例如在学习二、三阶行列式时，用二、三元线性方程组的求解引入；在学习矩阵的乘法概念时，可以选取总进货额和总销售额问题作为引例；学习矩阵的特征值、特征向量概念时可以选取人口流动模型来引入。教师也可以结合学生的专业特点，针对不同专业的学生采用不同的应用实例，以激发学生的学习兴趣。例如，在引入矩阵的概念时，对经济类的学生，可以结合投入产出问题来讲，对计算机专业的学生，可以结合通讯网络问题来引入，对偏文科的学生，可以结合航空公司航班图问题来讲。同时教师还可以选择一些日常生活中的实际问题，让学生尝试着建立数学模型进行求解，加强学生的数学建模意识。通过课内外针对实际问题的数学建模，使学生体会到课本中的概念都是与实际生活紧密联系的，加深了对基本概念的理解，提高了学生学习线性代数的兴趣，而且让学生体会到了学以致用的妙处和数学建模思想的强大威力，激发了学生应用数学知识分析和解决实际问题的积极性和主动性。这里需要注意的是，数学建模是一个很复杂的过程，但由于学时的限制，在引入应用实例时不需要详细讲解数学建模的各个步骤，重点在于模型的建立以及整个过程中数学思想的体现，提升学生的数学思维能力。

三、几何思想

几何思想是指在解决代数问题时，利用问题的几何图形，将抽象的问题形象化、直观化，启发思维，从而解决问题。将抽象的数学语言转化成直观的几何图形，借助几何解释，可以帮助我们理解抽象的数学概念和数学理论，并且可以锻炼空间想象能力和形象思维、抽象思维能力。几何思想与代数思想之间相互渗透，就是常说的数形结合思想。线性代数中的几乎所有重要概念都有其几何意义。作为最基本的二、三阶行列式都有它们的几何意义，可以用来求定向面积和体积：以二维列向量为邻边的平行四边形的面积是由它们构成的二阶行列式的绝对值；以三维列向量为相邻棱的平面六面体的体积是由它们构成的三阶行列式的绝对值。对二元线性方程组而言，如果将方程组中的每一个方程看作是一个平面的话，则线性方程组有没有解的问题就相当于这两个平面有没有交点的问题：当两个平面重合或者不平行时一定有交点，此时线性方程组一定是有解的；当两个平面平行但不重合时没有交点，此时线性方程组无解。若空间中的两个向量共线，则这两个向量是线性相关的，否则是线性无关的；空间中的三个向量共面，则这三个向量是线性相关的，否则是线性无关的。矩阵的特征向量是指被矩阵变换后能够和自身共线的向量，而矩阵的特征值则说明了新向量的方向及扩大缩小的倍数。两个相似矩阵表示了相同的线性变换。令二元正定二次型等于任意大于零的常数，则其图形是以原点为中心的椭圆。在课堂教学中，教师要根据概念的特点和学生的实际情况，将线性代数与解析几何结合起来，利用解析几何形象直观的特点，给出概念的几何背景，淡化概念的抽象性，训练学生从几何角度分析问题、解决问题的能力，加强学生的数形结合意识，同时还可以借助多媒体等教学工具帮助学生加深对知识的理解。

四、类比思想

所谓类比思想是指，通过比较两个不同对象的某些相同或相似属性，根据其中一个具有的其他属性来推断另一对象也具有相似的其他属性。运用类比思想解决问题的过程是：将原问题利用类比得到类比问题，通过对类比问题的求解得到原问题类似的解法。而运用类比的关键是要寻找到合适的类比对象。类比是利用旧知识来认识新知识的过程，通过类比，加强了不同知识之间的联系，可以培养学生的创造性思维。在线性代数的概念教学中，很多概念都可以利用类比思想进行教学。主要有两类：一类是线性代数课程本身内容之间的类比。例如，由二、三阶行列式的定义类比得到了阶行列式的定义，由二、三阶行列式求解线性方程组的结论类比得到了克莱姆法则；将平面上的二维向量和空间中的三维向量的概念推广得到了一般的维向量的概念；由线性方程组的初等变换类比给出了矩阵的初等变换的概念；通过类比，可以很好地区分余子式、子式、主子式和顺序主子式等概念，能清楚地理解矩阵的等价、相似和合同等关系之间的区别和联系；类比普通矩阵，进行分块矩阵的运算。另一类是其他数学知识和线性代数知识之间的类比。例如，将矩阵的运算与数的运算类比，将单位矩阵的作用与数1的作用类比，将数量矩阵与数的作用类比，类比倒数的运算得到了逆矩阵的概念，将矩阵方程与函数方程类比，向量内积、长度等内容与学生已知的解析几何知识进行类比，将二次曲面化标准形问题与二次型化标准形问题对比。在教学过程中，如果能够将新知识和学生已有的数学知识进行类比，学生会更容易接受新知识，还可以达到温故知新的效果。

五、小结

在线性代数的概念教学中，要把让学生理解、掌握并学会运用数学思想放在和传授知识同等的位置上，要不断加强数学思想的教学，提高学生的数学思维能力。同时也应该要注意，数学思想的教学必须遵循循序渐进、由浅入深、反复渗透等原则，要有计划、有步骤地进行数学思想的教学，不能急功近利。

参考文献：

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