Nil-semicommutative的exchange环

屈寅春，周 颖，魏俊潮*

（1.扬州大学数学科学学院，江苏 扬州225002；2.无锡职业技术学院，江苏 无锡214121）

Nil-semicommutative的exchange环

屈寅春1，2，周 颖1，魏俊潮1*

（1.扬州大学数学科学学院，江苏 扬州225002；2.无锡职业技术学院，江苏 无锡214121）

0　引言

本文中，R表示有单位元的结合环，J（R），N（R）分别表示环R 的Jacobson根和幂零元集合.一个环R 称为nil-semicommutative环［1-2］，若对每个a，b，r∈R，a，b∈N（R）有arb∈N（R），易见，若N（R）是R的理想，则R 为nil-semicommutative环.设R 是一个环，若对每个a∈N（R），有a∈aRa，则称R为n-正则环［3］；若N（R）=0，则称R 为约化环.显然，约化环是n-正则环和nil-semicommutative环.一个环R为约化环当且仅当R为n-正则的nil-semicommutative环［2］219.一个环R 称为exchange环［4］，若对每个a∈R，存在e2=e∈aR，使得1-e∈（1-a）R.设a∈R，若b，c∈R 且存在正整数n，使得an=an+1b=can+1，则称a为强π-正则元，特别地，当n=1时，称a为强正则元.一个环R称为强π-正则环，若R的每个元都是强π-正则元.设a∈R，若存在b∈R，使得a=aba，则称a为VonNeumann正则元；若a∈RaRa，则称a为左弱正则元；若存在中心幂等元e，使得RaR=Re，则称a是双正则元.一个环R分别称为VonNeumann正则环、左弱正则环和双正则环，若R的每个元都是VonNeumann正则元，左弱正则元和双正则元，Yu［4］已证明：1）若R是exchange环且每个素商环是Artin的，则R为强π-正则环；2）若R为exchange环，每个本原商环是Artin的且R/J（R）是同态半本原的，则R/J（R）是强π-正则环.受此启发，本文拟研究nil-semicommutative的exchange环的一些性质，并将文献［1-4］的部分重要结果推广到nil-semicommutative的exchange环上.

1　主要结果

根据文献［5］定理6的证明知：一个只有2个幂等元的exchange环是局部环，得到下面的命题.

命题1 设R为一个nil-semicommutative的exchange环，若P 是R 的左本原理想，则R/P为除环.

证明 设a∈R，满足a-a2∈P，由于R 为exchange环，则摸P 可幂等提升，从而存在e2=e∈R，使得e-a∈P.由文献［2］213命题2.1知eR（1-e）⊆P.由于摸P 为素理想，则有e∈P 或1-e∈P，故a∈P或1-a∈P，因此R/P 只有2个幂等元.由于R 为exchange环，则R/P 是exchange环，因此由文献［5］19定理1知，R/P 是局部环，但J（R/P）=0，从而R/P 为除环.

命题2 设R为一个nil-semicommutative的exchange环，则R为左quasi-duo环.

证明 设M是R的任意一个极大左理想，记W=R/M，则W是单左R-模，故P=（0：W）=｛r∈R|rW=0｝是R的左本原理想.由命题1知是除环，易见P⊆M.下证M⊆P，若存在m∈M，但m∉P，则存在x∈R，使得，故1-xm∈P⊆M，1=（1-xm）+xm∈M，矛盾，因此M⊆P，从而M=P是R 的理想，故R为左quasi-duo环.

文献［6］定理2.7证明了：左quasi-duo的Von Neumann正则环是强正则环.由于Von Neumann正则环是exchange环，故命题2暗示了推论3.

推论3 R为强正则环当且仅当R 为Von Neumann正则的nil-semicommutative环.

一个环R称为clean环，若对每个x∈R，存在R的幂等元e及可逆元u，使得x=u+e.由文献［7］知，exchange环为clean环，但反之不成立.文献［6］29定理4.2证明了：左quasi-duo的exchange环是clean环，故命题2还暗示了下面的推论4.

推论4 设R为nil-semicommutative的exchange环，则R为clean环.

推论5 设R为nil-semicommutative的exchange环，若每个非零左R-模有一个极大子模，则R/J（R）为强正则环.

证明 由命题2知，R为左quasi-duo环，据文献［6］21知R/J（R）是左quasi-duo环.由于每个非零左R-模有极大子模，故每个非零左R/J（R ）-模有极大子模，由文献［6］24引理3.2知R/J（R）为Von Neumann正则环.由文献［6］22推论2.4知R/J（R）为约化环，从而R/J（R）为强正则环.

文献［8］证明了：若R为左完全环，则每个非零左R-模有一个极大子模且R不含无穷多个正交幂等元，但反之不成立.文献［6］24定理3.3则证明了若R 为左quasi-duo环，反之即成立，故有下面的命题6.

命题6 设R为nil-semicommutative环，则下列条件等价：

1）R为左完全环；

2）R为半完全环，每个非零左R-模有一个极大子模；

3）R为exchange环，不含无穷多个正交幂等元且每个非零左R-模有一个极大子模.

证明 1）⇒2）：由文献［8］472得证.

2）⇒3）：由文献［9］定理9知，R 为半完全环当且仅当R为clean环且不含无穷多个正交幂等元，故由推论4知条件3）成立.

3）⇒1）：这是命题2及文献［6］24定理3.3的直接推论.

一个环R称为同态半本原环，若R的每个同态像是半本原环.

命题7 设R为nil-semicommutative环，摸J（R）幂等提升，则下列条件等价：

1）R/J（R）为强正则环；

2）R/J（R）为强π-正则环；

3）R/J（R）为双正则环和exchange环；

4）R/J（R）为同态半本原环和exchange环.

证明 1）⇒2）：显然.

2）⇒3）：由于强π-正则环是exchange环，从而R/J（R）为exchange环.由于R为nil-semicommutative环，由文献［2］213命题2.1知N（R）⊆J（R）.由于摸J（R）幂等提升，故R 为exchange环.由于R为nil-semicommutative环，由命题2知R 为左quasi-duo环，故R/J（R）为左quasi-duo环，于是由文献［6］22推论2.4知R/J（R）是约化环，因此R/J（R）是强正则环，从而R/J（R）是双正则环.

3）⇒4）：设I/J（R）是R/J（R）的任一个真理想，则R/I是R/J（R）的同态像.设σ：R/J（R）→R/I为环满同态.若，则有，故有0≠a∈R/J（R）使得σ（a）=x.由于R/J（R）是双正则环，故，e2=e∈R/J（R）且e 是R/J（R）的中心幂等元.设，则.又由于σ（e）2= σ（e），故σ（e）=0.设a=re，其中，易见，所以，矛盾，因此J（R/I）=0，R/I为半本原环，从而R/J（R）为同态半本原环.

4）⇒1）：由于R/J（R）为exchange环，摸J（R）幂等提升，故R为exchange环，据命题2知R为左quasi-duo环，从而由文献［6］29定理3.8得证.

由于左弱正则的左quasi-duo环是强正则环，因此有下面的推论.

推论8 设R为nil-semicommutative环，摸J（R）幂等提升，则下列条件等价：

1）R/J（R）为强正则环；

2）R/J（R）为左弱正则的exchange环.

证明 1）⇒2）：显然.

2）⇒1）：设R/J（R）为左弱正则的exchange环，则由命题7的证明可知，R 为左quasi-duo环，从而R/J（R）为左quasi-duo环，故R/J（R）为强正则环.

文献［10］引理3.1证明了：一个环R为强π-正则环当且仅当对R的每个素理想P，有R/P是强π-正则环.

命题9 设R为nil-semicommutative的exchange环，若R的每个素理想是左本原理想，则R为强π-正则环且R/J（R）为强正则环.

证明 设P为R 的任一个素理想，则由题设知P 为R 的左本原理想，由于R为nil-semicommutative的exchange环，所以由命题1知R/P 为除环，从而R/P 为强π-正则环，R为强π-正则环，故R/J（R）为强π-正则环.由命题2知R为左quasi-duo环，于是由文献［11］定理1知R/J（R）为左quasi-duo环.由文献［6］22推论2.4知R/J（R）为约化环，故R/J（R）为强正则环.

［1］CHEN Weixing.On nil-semicommutative rings［J］.Thai J Math，2011，9（1）：39-47.

［2］QU Yinchun，WEI Junchao.Some notes on nil-semicommutative rings［J］.Turk Math J，2014，38（2）：212-224.

［3］WEI Junchao，CHEN Jianhua.Nil-injective rings［J］.Int Electron J Algebra，2007，2（1）：1-21.

［4］YU Huaping.On the structure of exchange rings［J］.Comm Algebra，1997，25（3）：661-670.

［5］WEI Junchao.Almost Abelian rings［J］.Comm Math，2013，21（1）：15-30.

［6］YU Huaping.On quasi-duo rings［J］.Glasgow Math J，1995，37（1）：21-31.

［7］NICHOLSON W K.Lifting idempotents and exchange rings［J］.Trans Amer Math Soc，1977，229（2）：269-278.

［8］BASS H.Finitistic dimension and a generalization of semiprimary rings［J］.Trans Amer Math Soc，1960，95（3）：466-488.

［9］CAMILLO V P，YU Huaping.Exchange rings，units and idempotents［J］.Comm Algebra，1994，22（21）：4737-4749.

［10］WEI Junchao，LI Libin.Quasi-normal rings［J］.Comm Algebra，2010，38（9）：1855-1868.

［11］魏俊潮.Quasi-duo环的刻画［J］.扬州大学学报：自然科学版，2006，9（3）：1-4.

设R是nil-semicommutative的exchange环，证明了如下结论：1）对于R 的每个左本原理想P，R/P是除环；2）R是左quasi-duo环；3）若每个非零左R-模有一个极大子模，则R/J（R）是强正则环；4）R/J（R）是强正则环当且仅当R/J（R）是同态半本原环；5）若R的每个素理想是左本原理想，则R 为强π-正则环且R/J（R）是强正则环.

nil-semicommutative环；exchange环；左quasi-duo环；左本原理想；强正则环

O153.3；O154

A

1007-824X（2015）02-0012-03

Nil-semicommutative exchange rings

QU Yinchun1，2，ZHOU Ying1，WEI Junchao1*
（1.Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China；2.Wuxi Inst of Tech，Wuxi 214121，China）

2013-11-04.*联系人，E-mail：jcweiyz@126.com.

国家自然科学基金资助项目（11471282，11171291）；江苏省高校自然科学基金资助项目（11KJB110019）；江苏省高等职业院校国内高级访问学者计划资助项目（2014FX079）.

屈寅春，周颖，魏俊潮.Nil-semicommutative的exchange环［J］.扬州大学学报：自然科学版，2015，18（2）：12-14，21.

Let R be an exchange nil-semicommutative ring.Then 1）R/P is a division ring for each left primitive ideal P of R；2）R is a left quasi-duo ring；3）If every nonzero left R-module has a maximal submodule，then R/J（R）is strongly regular；4）R/J（R）is a strongly regular ring if and only if R/J（R）is a homomorphic semiprimitive ring；5）If every prime ideal of R is left primitive，then R is a stronglyπ-regular ring if and only if R/J（R）is a strongly regular ring.

nil-semicommutative ring；exchange ring；left quasi-duo ring；left primitive ideal；strongly regular ring

（责任编辑 林 子）