一类具有奇性Rayleigh方程周期正解的存在性

钟 涛，鲁世平

（南京信息工程大学数学与统计学院，南京210044）

一类具有奇性Rayleigh方程周期正解的存在性

钟 涛，鲁世平*

（南京信息工程大学数学与统计学院，南京210044）

研究Rayleigh方程x″（t）+f（x′（t））+g（t，x）=0周期正解的存在性问题，其中f：R→R连续，g：R×（0，+∞）→R连续，关于t为T周期，且在x=0处具有奇性，即limx→0+g（x）=+∞.利用Mawhin重合度延拓定理，证明了上述方程至少存在一个T周期正解.

Rayleigh方程；周期解；存在性；Brouwer度

近年来，人们运用Mawhin重合度延拓定理［1-2］，获得了许多关于二阶非线性微分方程周期正解存在性的结果［3-10］.例如，Zhang［3］254研究了具有奇性的Liénard方程x″（t）+f（x（t））x′（t）+ g（t，x）=0周期正解的存在性，Wang［4］227进一步研究了具有奇性的时滞Liénard方程x″（t）+ f（x（t））x′（t）+g（t，x（t-τ））=0周期正解的存在性，这两篇文章均要求g（t，x）=g0（x）+g1（t，x），其中g0（x）关于x在x=0处具有奇性，且；Wang等人［5］41也研究了具有时滞的Rayleigh方程周期正解的存在性；Chu等人［11］利用锥不动点定理等研究了具有奇性非线性扰动的Hill方程周期正解的存在性和多解性.本文利用Mawhin重合度延拓理论，进一步探讨具有奇性的Rayleigh方程

周期正解的存在性问题.

1　预备知识

令X和Y 为两个实Banach空间，且L：D（L）⊂X→Y是一个指标为0的Fredholm算子，D（L）表示L 的定义域，这意味着ImL 是Y的闭子空间且dimKerL=condimImL＜+∞；P：X→KerL，Q：Y→Y 是两个连续线性映射，满足ImP=KerL，KerQ=ImL；因此，可知X=KerL⊕KerP，Y=ImL⊕ImQ.显然，LP=LD（L）∩KerP→ImL 是可逆的.令Ω⊂X为一个开集，如果QN：以及KP（1-Q）N：是紧的，KP表示LP的逆映射，那么连续映射N：在上L紧.

引理1［4］229令X 和Y 为两个实Banach空间.假设L：D（L）⊂X→Y是一个指标为0的Fredholm算子，并且N：在上L紧，其中Ω为X的开子集.如果以下条件满足：①Lx≠ λNx，对任意x∈∂Ω∩D（L），λ∈（0，1）；②Nx∉ImL，对任意x∈∂Ω∩KerL；③Brouwer度 deg｛JQN，Ω∩KerL，0｝≠0，其中J：ImQ→KerL为同构映射，那么方程Lx=Nx在上至少有一个解.

2　主要结果

定理1 假设f（0）＜0.如果满足条件A1：limx→0+inft∈［0，T］g（t，x）=+∞；A2：存在常数M＞0，对任意（t，u）∈［0，T］×（M，+∞）时，恒有g（t，u）＜-f（0），那么Rayleigh方程（1）至少有一个T周期正解.可以构造适当的函数f，g，使其满足定理1的所有条件.

例1 定义f（x′（t））=（x′（t））3-1/2，g（t，x）=x-3（1+2-1sint），可得f（0）=-1/2，limx→0+inft∈［0，T］g（t，x）=limx→0+1/（2x3）=+∞，且存在M1=2，当u＞M1时，g（t，u）＜-f（0）= 1/2.应用定理1，容易得到方程（1）至少有一个T 周期正解.

例2 定义f（x′（t））≡-1/2，g（t，x）=x-α，α∈（0，+∞），可得limx→0+inft∈［0，T］g（t，x）= limx→0+x-α=+∞，f（0）=-1/2，且存在M1=1+2-α，当u＞M1时，g（t，u）=u-α＜-f（0）=1/2.应用定理1，容易得到方程（1）至少有一个T周期正解.

从例1和例2易见，本文所讨论方程中的奇性项满足的性质与文献［3-4］不同.例1中具有的奇性项g（t，x）显含自变量t，而文献［3-4］中具有的奇性项为g0（x），它要求不显含自变量t；例2中具有的奇性项g（x）虽然要求不显含自变量t，但当α∈（0，1）时，这表明文献［3-4］中的关键条件，则LP为同构映射，并且定义不满足.下面用重合度延拓定理来证明方程（1）周期正解的存在性.

令X和Y为两个实Banach空间，定义为X=｛x∈C1（R，R）：x（t+T）=x（t），∀t∈R｝，Y= ｛y∈C（R，R）：y（t+T）=y（t），∀t∈R｝，规定其范数为‖x‖X=max｛‖x‖∞，‖x′‖∞｝，‖x‖Y=‖y‖∞.

定义线性算子L：D（L）⊂X→Y，Lx=x″，其中D（L）=｛x∈X：x″∈C（R，R）｝；非线性算子N：X→Y，（Nx）（t）=-f（x′（t））-g（t，x（t））.容易看出KerL=R且，L为一个指标为0的Fredholm算子.

定义连续映射P：X→KerL，Q：Y→Y，令P（x）=x（0），.显然，对任意y∈ImL，

对任意开集Ω⊂X，可以证明KP（1-Q）N和QN在为上相对紧，故N在上L紧.这表明方程（1）等价于算子方程Lx=Nx，应用引理1，将该算子方程嵌入到含参数λ∈（0，1）的方程族Lx=λNx，此式等价于方程

首先，证明存在独立于λ的正实数M0，M1和M2，使得对方程（2）任意的T 周期正解x（t），恒有M0≤x（t）≤M1，∀t∈［0，T］，并且‖x′‖∞≤M2.事实上，假设x（t）为方程（2）的任意T 周期正解，并且

可以得到

根据（2）和（4）式，得g（t0，x（t0））=λ-1x″（t0）-f（0）≤-f（0）.由条件A2知存在常数M0＞0，使得g（t，u）＜-f（0），∀（t，u）∈［0，T］×（M0，+∞），由此可得

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Existence of periodic solutions for a kind of Rayleigh equation

ZHONG Tao，LU Shiping*
（Sch of Math&Stat，Nanjing Univ of Inf Sci&Technol，Nanjing 210044，China）

By using Mawhin’s continuation theorem，this paper studies the existence of positive periodic solutions for the Rayleigh equation：x″（t）+f（x′（t））+g（t，x）=0，where f：R→R，g：R×（0，+∞）→R are continuous，g（t，x）is T-periodic function with t，and with singularity at x=0，i.e.limx→0+g（x）=+∞.It is proven that the above equation has at least one positive T-periodic solution.

Rayleigh equation；periodic solutions；existence；Brouwer degree

O175.14

A

1007-824X（2015）02-0018-04

（责任编辑 秋 实）

2014-06-13.*联系人，E-mail：lushiping88@163.com.

国家自然科学基金资助项目（11271197）；南京信息工程大学基金资助项目（20110387）.

钟涛，鲁世平.一类具有奇性Rayleigh方程周期正解的存在性［J］.扬州大学学报：自然科学版，2015，18（2）：18-21.