贾婷婷,苑呈涛,李立斌
(扬州大学数学科学学院,江苏 扬州225002)
SweedlerHopf代数上Green环的自同构群
贾婷婷,苑呈涛,李立斌*
(扬州大学数学科学学院,江苏 扬州225002)
假设H2是特征为0的代数闭域k上的Sweedler四维Hopf代数,并用r(H2)表示H2的Green环,证明了r(H2)的自同构群Aut(r(H2))同构于Klein四元群.
自同构群;Green环;SweedlerHopf代数
环与代数的自同构是代数学领域最经典的研究问题之一.对于给定的环或代数,如何刻画其自同构群目前还没有统一的方法和技巧.Dicks[1],Yu[2],Drensky[3]等在多项式代数的自同构,特别是2个变元的多项式代数(环)方面开展了一些有意义的研究.Alev等人[4]和Artamonov[5]证明了当q不是单位根时量子平面kq(x,y)=k[x,y]/(xy-qyx)以及量子化包络代数Uq(sl(2))的自同构.朱美玲等[6]得到当q不是单位根时量子群Uq(fm(K))的同构与自同构分类.近年来,Green环的研究日渐兴起.Chen等[7]确定了Taft代数Hn(q)的Green环r(Hn(q))的生成元和生成关系.Li等[8]得到了广义TaftHopf代数Hn,d的Green环r(Hn,d)的结构及其所有幂零元的表达式.本文拟利用r(H2)的生成元和生成关系提出r(H2)的自同构群,并证明其自同构群Aut(r(H2))同构于Klein四元群K4.
设正整数n,d≥2且d|n,q是d 次本原单位根.Radford[9]定义了Hopf代数Hn,d=Hn,d(q)由g和h 生成,且满足gn=1,hd=0,hg=qgh.Hn,d的余乘法Δ、余单位ε和反极元S 分别表示为
注:dimHn,d=dn,{gihj|0≤i≤n-1,0≤j≤d-1}是Hn,d的一组PoincareBirkhoffWitt(PBW)基.当d=n时,Hn=Hn,n为n2-维Taft(Hopf)代数[10];因此,将Hn,d称为广义TaftHopf代数[11].当n=2时,H2为Sweedler四维Hopf代数.
Hopf代数上的Green环 设H是域k上有限维Hopf代数,有限维H-模V的同构类记为[V]. 设a(H)表示所有[V]生成的自由Abel群,在a(H)上定义乘法[M][N]=[M⊗N],则a(H)是环.该环模去所有关系式[M⊕N]=[M]+[N]所得商环称为Hopf代数H的Green环(表示环),记作r(H).
定理1[7]771,[8]280设Z[y,z]是Z 上关于变量y和z 的多项式代数.Hn,d的Green环r(Hn,d)同构于Z[y,z]/I,式中I为Z[y,z]的理想且由多项式yn-1,(z-ym-1)Fd(ym,z)生成,其中m=n/d.Fd(ym,z)是广义Fibonacci多项式,满足Fs+2(y,z)=zFs+1(y,z)-yFs(y,z),s≥0;F0(y,z)=0;F1(y,z)=1.
推论2 H2的Green环r(H2)同构于Z[y,z]/I,式中I=(y2-1,z2-yz-z).
记Aut(r(H2))表示Sweedler四维Hopf代数H2的Green环r(H2)的自同构群.对任意H2的Z-线性变换f,记Af,|Af|分别为线性变换对应的系数矩阵和该系数矩阵的行列式.
设ε,σ,τ,φ是r(H2)上的Z-线性映射,其中ε是恒等映射,σ,τ,φ分别由下式确定:
易证ε,σ,τ,φ是r(H2)的自同构,且στ=φ,σ2=τ2=φ2=ε,故{ε,σ,τ,φ}是Aut(r(H2))的子群且同构于Klein四元群K4.
命题3 设f是r(H2)的自同构,则f(y)=y或f(y)=-y.
证明 因f是r(H2)的自同构,且y2=1,故(f(y))2=1.
设f(y)=a1+a2y+a3z+a4yz,ai∈z(1≤i≤4),则(a1+a2y+a3z+a4yz)2=1.有a21+a22+ 2a1a2y+(a23+a24+2a1a3+2a2a4+2a3a4)z+(a23+a24+2a1a4+2a2a3+2a3a4)yz=1,可得方程组
由于a1,a2,a3,a4∈z,f(y)≠1且f(y)≠-1,故只有a1=0,a2=±1,a3=a4=0符合条件,即f(y)=y或f(y)=-y.
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命题4 设f是r(H2)的自同构,且f(y)=y,则f∈{ε,σ,τ,φ}.
证明 由z2=yz+z得
(f(z))2=f(z2)=f(yz+z)=f(yz)+f(z)=f(y)f(z)+f(z)=[f(y)+1]f(z)=(1+y)f(z). 设f(z)=b1+b2y+b3z+b4yz,有
情形1 若f(z)=bz-byz,则f(yz)=-bz+byz.
情形2 若f(z)=bz+(1-b)yz,则f(yz)=(1-b)z+byz.
情形4 若f(z)=1+y+bz-(1+b)yz,则f(yz)=1+y-(1+b)z+byz.
综上可得f∈{ε,σ,τ,φ}.
定理5 设Aut(r(H2))是r(H2)的自同构群,则Aut(r(H2))≅K4.
证明 设f是r(H2)的自同构,则当f(y)=-y 时,有f(z)=1-y(证明过程同命题4),因f(z)=1-y=f(1+y),故不成立.由命题3,4知f(y)=y且f∈{ε,σ,τ,φ},故Aut(r(H2))={ε,σ,τ,φ}≅K4.
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The automorphism group of Green ring over Sweedler Hopf algebra
JIA Tingting,YUAN Chengtao,LI Libin*
(Sch of Math Sci,Yangzhou Univ,Yangzhou 225002,China)
Let H2be the Sweedler’s 4-dimensional Hopf algebra over a fixed algebraically closed field k of characteristic 0,where r(H2)denotes the Green ring of H2.In this paper,it is shown that the automorphism group of the Green ring r(H2)is isomorphic to the Klein four group K4.
automorphism group;Green ring;Sweedler’s Hopf algebra
O153.3;O152.2
A
1007-824X(2015)02-0008-04
(责任编辑 秋 实)
2014-11-11.*联系人,E-mail:lbli@yzu.edu.cn.
国家自然科学基金资助项目(11471282);高等学校博士点基金资助项目(20123250110005).
贾婷婷,苑呈涛,李立斌.SweedlerHopf代数上Green环的自同构群[J].扬州大学学报:自然科学版,2015,18(2):8-11.