一类具强内射的正则环

刘云萍， 金海兰

(延边大学 理学院， 吉林 延吉 133002)

1974年， Yue C M在文献[1]中首次提出了P-内射模的概念，并利用P-内射模研究了正则环.此后，一些学者又研究了其他一些特殊内射环的正则性[2-4].2002年， Hong C Y等研究了右CP-内射环与正则环之间的关系[5].基于文献[5]的研究，本文将强CP-内射环与正则环相结合来研究强CP-内射环与正则环的等价条件.

本文中的环均指有单位元的结合环，环上的模均指酉模.设R为环，M为左R-模，如果R的任意一个主左理想I到M的左R-模同态都可以扩充到R到M的左R-模同态，则称M为左主内射模，简记为左P-内射模[1].如果左R-模RR是P-内射模，则称环R是左P-内射环.如果环R的每个环同态像都是左P-内射的，则称R为完全左主内射环，简记为左CP-内射环[6].左CP-内射环一定是左P-内射环，反之未必.

1 强正则环与弱正则环

设R为环，如果对∀x∈R， 存在y∈R， 使得xyx=x， 则称R为Von Neumann正则环.文献[1]的作者证明了环R是Von Neumann正则环当且仅当每个左R-模是P-内射模，同时还证明了环R是Von Neumann正则环当且仅当每个循环左R-模是P-内射模.由此可知Von Neumann正则环一定是左P-内射环，但反之未必.设R为环，如果对∀a∈R， 存在b∈R使得a2b=a， 则称R为强正则环.显然，强正则环一定是正则环，但反之未必.设R为环，如果对∀a∈R， 都有aR=aRaR， 则称R为右弱正则环.类似的，如果对∀a∈R， 都有Ra=RaRa， 则称环R为左弱正则环.若环R既是左弱正则环，又是右弱正则环，则称R为弱正则环.

引理1[7]环R是强正则环当且仅当R是阿贝尔正则环.

引理2①正则环一定是弱正则环； ②右弱正则环或左弱正则环一定是半素环.

证明令R是正则环，则对∀a∈R， 存在b∈R使得a=aba∈aRa.由此知aR=aRaR，Ra=RaRa， 因此R是弱正则环.引理2中的①得证.

令R是一个右弱正则环，并设对∀a∈R，aRa=0.由于R是右弱正则环，因此有aR=aRaR=0，a=0， 由此知R是半素环.同理，当R为左弱正则环时，R也一定是半素环.引理2中的②得证.

如果环R的每个极大左理想都是R的双边理想，则称R为左拟-duo环.如果环R的每个极大本质左理想都是R的双边理想，则称R为MELT环.显然，左拟-duo环一定是MELT环，但MELT环不一定是左拟-duo环.

定理1令R是MELT环，则以下条件等价： ①R是正则环； ②R是左弱正则环； ③R是右弱正则环； ④R是弱正则环.

由于正则环一定是弱正则环，显然由条件①可推出条件④.由于弱正则环既是左弱正则又是右弱正则，所以由条件④可推出条件②和③.

2 强CP-内射环与正则环

如果环R的每个环同态像为左(右)R-模时是P-内射模，则称环R为强左(右)CP-内射环.由文献[1]中的证明(若R是正则环，则每个左(右)R-模都是P-内射模)知R是强左(右)CP-内射环.

引理3[8]环R是左P-内射环当且仅当R的每个主右理想是右零化子.

定理2正则环一定是左P-内射环.

证明令R是正则环，则对∀a∈R， 一定存在b∈R使得a=aba, 由此知ba是R中的幂等元.设ba=e， 则aR=eR， 于是得aR是1-e的右零化子.由引理3知，R是左P-内射环，但左P-内射环不一定是正则环.

引理4[5]令R是MELT环，则以下条件等价： ①R是正则环； ②R是强左CP-内射环.

对于环R，P(R)表示R的素根集，N(R)表示由所有幂零元构成的集合.显然P(R)⊆N(R).若P(R)=N(R)， 则称R为2-primal环.若R是约化环，则根据约化环的概念可得P(R)=N(R)=0， 由此知约化环一定是2-primal环.

引理5[5]令R是一个2-primal环，则以下命题等价： ①R是强正则环； ②R是强左CP-内射环.

如果环R的每个非零左(右)理想都包含一个R的双边理想，则称R为强左(右)有界环.

引理6[5]以下命题等价： ①环R是强正则环； ②环R是强左有界环和强左CP-内射环； ③环R是强右有界环和强左CP-内射环.

定理3对于约化环R， 以下条件等价： ①R是正则环； ②R是强左有界环和强左CP-内射环； ③R是强右有界环和强左CP-内射环； ④R是强左CP-内射环.

证明由于约化环一定是阿贝尔环，所以约化的正则环一定是强正则环，故由条件①可推出条件②和条件③.

② ⟹ ①.首先利用反证法证明R/rZ(R)是一个约化环，其中rZ(R)表示R的左奇异理想.如果R/rZ(R)不是一个约化环，则存在a2∈rZ(R)使得a∉rZ(R).因此必存在环R的理想K使得l(a)⊕K∈l(a2)是左本质的.由于R是强左有界的，则必存在R的一个双边理想I使得I⊆K.由此可知Ia2=0，Ia⊆l(a)∩I⊆l(a)∩K=0， 所以有I⊆l(a)，I=0， 这与I≠0矛盾.所以R/rZ(R)是一个约化环，即R/rZ(R)是一个强正则环.由此可知，R是一个左P-内射环，于是有rZ(R)=J(R)， 故R是一个左拟-duo环，即R是一个强正则环.

③ ⟹ ①.首先利用反证法证明R是一个约化环.如果R不是一个约化环,设a2=0， 但a≠0， 则r(l(a))是R的一个非零右理想.由此知必存在一个R的非零双边理想I使得I⊆r(l(a))， 所以有l(a)⊆l(I)， 故R/l(a)是一个左P-内射R-模.令f:Ra→R/l(I)，f满足f(ra)=r+l(I)， 则f是一个左R-同态映射.因为R/l(a)是左P-内射模，所以存在c∈R使得1+l(I)=f(a)=ca+l(I)， 由此得1-ca∈l(I)， 1∈l(I)， 这与I≠0矛盾.所以R是一个约化环，即R是一个强正则环.

因约化环也是2-primal环，所以由引理5知条件①与条件④等价.

令R为环，若R的所有极大理想的交J(R)=0， 则称R为半单环[9].文献[10]的作者证明了一个半单的单边拟-duo环一定是约化环.

定理4令R是半单左拟-duo环，则以下条件等价： ①R是正则环； ②R是强左有界环且是强左CP-内射环； ③R是强右有界环且是强左CP-内射环； ④R是强左CP-内射环； ⑤R是弱左正则环； ⑥R是弱右正则环； ⑦R是弱正则环.

证明由于一个半单的单边拟-duo环一定是约化环，因此根据定理3知，定理4中的条件①—④等价.由于左拟-duo环是MELT环，进而根据定理1可以证得定理4中的条件①、⑤、⑥、⑦等价.