乘积度量空间上具有唯一不动点的G- 隐式压缩映射

朴勇杰

(延边大学 理学院， 吉林 延吉 133002)

首先,给出文中所需的基本概念和性质.

定义1[9]设X是非空集合，称映射d:X×X→[1,+∞)是X上的乘积度量是指d满足：

(i) 对任何x,y∈X,d(x,y)≥1且d(x,y)=1 ⟺x=y；

(ii) 对任何x,y∈X,d(x,y)=d(y,x)；

(iii) 对任何x,y,z∈X,d(x,z)≤d(x,y)d(y,z).

如果X和d满足上述条件，则称(X,d)为乘积度量空间.

引理1[12]如果(X,d)是乘积度量空间, {xn}是X中的序列且x∈X， 则

xn→x(n→∞) ⟺d(xn,x)→1 (n→∞).

定义3[12]设(X,d)是乘积度量空间， {xn}是X中的序列.若对任何ε>1， 存在自然数N， 使得当m,n>N时d(xm,xn)<ε成立，则称序列{xn}为乘积柯西序列.

引理2[12]如果(X,d)是乘积度量空间， {xn}是X中的序列，则{xn}是乘积柯西序列当且仅当d(xm,xn)→1 (m,n→∞).

定义4[12]若乘积度量空间(X,d)中的每个乘积柯西序列都是乘积收敛的,则称(X,d)是完备的.

引理3[12]如果(X,d)是乘积度量空间, {xn}和{yn}是X中的两个序列且x,y∈X， 则

xn→x(n→∞)且yn→y(n→∞) ⟹d(xn,yn)→d(x,y) (n→∞).

定义5定义一个四元实函数类G:g∈G当且仅当g:[1,∞)4→[1,∞)满足如下条件：

G(i)g是连续的且关于第四变元是单调递增的；

G(ii) 存在实数k∈[0,1)， 当x,y≥1且满足x≤g(y,y,x,xy)时x≤yk成立；

G(iii) 当x>1时x>g(x,1,1,x2).

定义6设(X,d)是完备的乘积度量空间,f:X→X为自映射.称f是G-隐式压缩映射是指存在g∈G使得对任何的x,y∈X有下式成立：

d(fx,fy)≤g(d(x,y),d(x,fx),d(y,fy),d(x,fy)d(y,fx)).

(1)

定理2设(X,d)是完备的乘积度量空间,f:X→X为自映射.如果f是G-隐式压缩映射，则f有唯一不动点，并且对任何x∈X， 迭代序列{fnx}收敛于该唯一不动点.

d(xn,xn +1)=d(fxn-1,fxn)≤

g(d(xn-1,xn),d(xn-1,fxn-1),d(xn,fxn),d(xn-1,fxn)d(xn,fxn-1))=

g(d(xn-1,xn),d(xn-1,xn),d(xn,xn +1),d(xn-1,xn +1)d(xn,xn))≤

g(d(xn-1,xn),d(xn-1,xn),d(xn,xn +1),d(xn-1,xn)d(xn,xn +1)).

于是再根据G(ii)可得：

d(xn,xn +1)≤[d(xn-1,xn)]k,∀n=1,2,….

(2)

由式(2)和归纳原理可得：

d(xn,xn +1)≤[d(x0,x1)]kn,∀n=1,2,….

(3)

根据定义1中的(iii)和式(3)可得对于任何两个自然数m,n(n≥m)有:

d(xm,xn)≤d(xm,xm +1)d(xm +1,xn)≤d(xm,xm +1)d(xm +1,xm +2)d(xm +2,xn)≤…≤

d(xm,xm +1)d(xm +1,xm +2)…d(xn-2,xn-1)d(xn-1,xn)≤

[d(x0,x1)]km[d(x0,x1)]km +1… [d(x0,x1)]kn-2[d(x0,x1)]kn-1≤

(4)

由式(4)及k∈[0,1)可得：

(5)

d(xn +1,fx*)=d(fxn,fx*)≤

g(d(xn,x*),d(xn,fxn),d(x*，fx*),d(xn,fx*)d(x*，fxn))=

g(d(xn,x*),d(xn,xn +1),d(x*，fx*),d(xn,fx*)d(x*，xn +1)).

对上式两边取极限后由引理3和G(i)可得：

d(x*，fx*)≤g(1,1,d(x*，fx*),d(x*，fx*)×1).

再根据G(ii)可得d(x*，fx*)≤1k=1，d(x*，fx*)=1， 因此x*是f的一个不动点.如果y*也是f的一个不动点,则根据式(1)可得:

d(x*，y*)=d(fx*，fy*)≤g(d(x*，y*),d(x*，fx*),d(y*,fy*),d(x*，fy*)d(y*,fx*))=

g(d(x*，y*),1,1,[d(x*，y*)]2).

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再根据G(iii)可得d(x*，y*)=1， 因此可知x*=y*是f的唯一不动点.基于上述证明,由xn=fnx及xn→x*容易推出fnx→x*(n→∞时).

定理3设(X,d)是完备的乘积度量空间,f:X→X是自映射.如果对任何x,y∈X,

其中k∈(0,1), 则f在X中有唯一不动点.

定理4设(X,d)是完备的乘积度量空间,f:X→X是自映射.如果对任何x,y∈X,

d(fx,fy)≤[max{d(x,y),d(x,fx)}]k[max{d(y,fy),d(x,fy)d(y,fx)}]l，

其中非负实数k和l满足k+2l<1, 则f在X中有唯一不动点.

例3在R=(-∞,∞)上定义函数d(x,y)=e|x-y|,∀x,y∈R， 则(R,d)是乘积度量空间(参看文献[11]).令X={0,2,5}， 则显然(X,d)是完备的乘积度量空间.定义f:X→X为f0=f2=0,f5=2, 并取k=0.8, 则:

当x,y∈{0,2}和x=y=5时,

当x=0和y=5时,

d(f0,f5)=e2

当x=2和y=5时,

由上述验证可知f和k满足定理3的所有条件,因此f有唯一不动点.

例4考虑例3中的(X,d)和f.取k=0.7,l=0.1， 则k+2l=0.9<1.采用例3的证明方法可证得f、k和l满足定理4的所有条件(具体计算过程略),因此利用定理4也可证明f有唯一不动点.

最后，根据定理2给出如下特定子空间完备下的不动点存在性定理(定理5).

定理5设(X,d)是乘积度量空间，f：X→X是自映射且fX是完备的.如果存在g∈G使得对任何的x,y∈X总有式(6)成立,则f在X中存在唯一不动点.

d(f2x,f2y)≤g(d(fx,fy),d(fx,f2x),d(fy,f2y),d(fx,f2y)d(fy,f2x)).

(6)

证明由fX⊆X可推出f(fX)⊆fX, 因此可知f*=f|fX:fX→fX是完备乘积度量空间(fX,d)上的自映射.由于对任何x*，y*∈fX, 存在x,y∈X使得x*=fx,y*=fy， 因此根据式(6)可得:

d(f*x*，f*y*)=d(f2x,f2y)≤

g(d(fx,fy),d(fx,f2x),d(fy,f2y),d(fx,f2y)d(fy,f2x))=

g(d(x*，y*),d(x*，fx*),d(y*，fy*),d(x*，fy*)d(y*，fx*)).

(7)

由式(7)可知f*在完备的乘积度量空间(fX,d)上满足定理2的所有条件,因此f*在fX上有唯一不动点,且f在X上至少存在一个不动点.如果f有2个不动点u和v， 则根据式(6)可得:

d(u,v)=d(f2u,f2v)≤g(d(fu,fv),d(fu,f2u),d(fv,f2v),d(fu,f2v)d(fv,f2u))=

g(d(u,v),1,1,[d(u,v)]2).

根据G(iii)可得d(u,v)=1， 进而得u=v.该结果进一步说明f的不动点是唯一的.证毕.