肖重明
摘 要:离心率是圆锥曲线的一个特别重要的知识点,求解圆锥曲线离心率的取值范围,是平面解析几何中的重难点,其自然会成为高考考查的重点。就求解圆锥曲线离心率取值范围提出一些方法见解。
关键词:圆锥曲线;离心率;取值范围;不等式
求椭圆和双曲线离心率的取值范围,关键就在于由已知和潜在条件得到一个关于基本量a,b,c,e的一个不等式,再化简为形式,就可以从中求出离心率范围,关键就在于构建不等式。
一、利用点与圆锥曲线的关系构建不等式
可以充分考虑点和圆锥曲线的关系,利用向量、坐标法或其他方法进行不等式的构建解析。如例题1:有椭圆 +y2=1,n>0,在这个椭圆上有两个关于直线x+y=1的对称点A,B。求椭圆的离心率取值范围。此题可用点差法求出线段AB的中点G坐标(用n表示),G点定在椭圆内,根据椭圆内部点坐标遵循不等式 +y2<1,求出n的取值范围,因为e2=1- ,再把n的取值范围带入,再结合椭圆离心率大于0、小于1的特性综合求出e的取值范围。
二、利用直线和圆锥曲线的关系条件
部分求解圆锥曲线离心率的题目中,是以直线与圆锥曲线位置设置问题条件的,那就利用这个关系,再结合代数知识构建不等式求解离心率范围。例如命题者普遍会将双曲线同直线交点个数问题作为限制条件,让求解离心率。因为存在交点,就可以整合直线方程和双曲线方程构造新的一元二次方程,转化成该方程根个数的问题,据此分情况列出不等式求离心率。
三、结合其他知识块构建不等式
在求解离心率的过程中不能只局限与圆锥曲线的知识,还要结合其他知识模块,找到解题思路,通常运用较多的知识模块有二元一次方程、均值不等式、三角形三边关系等,其中均值不等式多结合余弦定理使用。
四、利用圆锥曲线自身性质构建不等式
充分理解圆锥曲线的性质对其离心率范围的求解大有好处,比如双曲线的焦半径取值范围、椭圆上的点与两焦点连线间夹角最大时,这个点在椭圆的短端点上。例如题目:椭圆(a>b>0)上存在点P使得其与两个焦点连线夹角∠F1PF2为120°,求离心率e的取值范围。根据椭圆上的点与两焦点连线间夹角最大时,这个点在椭圆的短端点上的性质,只要保证∠OBF2≥60°即可,即sin∠OBF2=≥ ,e的范围也就可以求出来了。
参考文献:
张利平.揭秘高考圆锥曲线离心率的几种常规求法[J].数学学习与研究,2015(09).
编辑 谢尾合