凸显数学思维价值，培养数学思维能力

【摘 要】数学是一门严谨的科学。数学思维是严密的、有序的。数学教学应重视数学思维教育，高中数学课堂教学过程中，应给学生留足思维的空间，提供发展数学思维的机会，培养学生的数学思维能力。

【关键词】高中数学;思维教育;思维价值;思维能力;二项式定理

【中图分类号】G633.6 【文献标志码】A 【文章编号】1005-6009（2015）38-0034-03

【作者简介】张松年，南京市金陵中学（南京，210005）教师，江苏省特级教师，正高级教师。

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。”“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。”这表明：数学价值包括思维价值、应用价值、文化价值等多个方面，而思维价值又是数学的核心价值，是数学学科独有的价值;数学教学要培养学生多种能力，而最终都可以归结为数学思维能力，或者说，数学思维能力是数学能力的核心，也是数学教学的核心。

就中学数学教学而言，如何在课堂教学中凸显数学思维价值，培养数学思维能力，应是每一个中学数学教师必须思考的问题。本文以苏教版《高中数学·选修2-3》“二项式定理”教学为例，对这个内容的教学进行分析，并结合具体的教学案例提出教学建议。

一、凸显数学思维价值

数学研究的基本对象就是“数”和“形”，数学研究的基本内容是数量间和空间内的关系和形式。数学思维强调用数学的眼光看世界，从思维的层面理解、领悟数学的内容、意义和方法，在实践中自觉将实际问题转化为数学问题，进而思考问题、分析解决问题。

数学思维的价值是给每一个普通人以数学的意识，能够发现周围世界存在的客观规律。当他面对生活和工作中的事情时，能从数学的角度进行思考，制订切实可行的计划，提出合理的建议。面对现实中的许多事情，有的人总是能善于概括和总结，事半功倍地处理，就是得益于长期运用数学思维的结果。数学的思维价值主要体现在以下几个方面：从知识和工具的角度来看，数学是认识自然的基础，是科学研究的工具和交流的载体;从思想和方法的角度来看，数学促进了近代科学的高速发展，逻辑证明和公理化体系已经成为任何一门学科数化自身体系的普遍思想，甚至影响到人文、社会科学领域;从精神层面来看，数学是人类从事实践活动的行为意识、思维活动和心理状态，是一种理性的探索精神，是一种对完美愿望的追求。

数学教育的目的之一是通过对概念的抽象性、推理的严密性和理论的应用性来培养人的理性精神、思维品格、思辨能力，启迪人的智慧，开发潜在的创造力。在高中阶段，数学教学应具体做到：（1）努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，注意对数学本质的形式化刻画;（2）讲求逻辑推理，通过典型例子的分析和学生自主探索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。

“二项式定理”是苏教版《高中数学·选修2-3》第一章“计数原理”第5节的第1课，是初中数学中多项式乘法的延伸，是高中数学中两个基本计数原理的应用。教材在完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的基础上，通过对等式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4的观察，提出“你能写出（a+b）n（n∈N*）的展开式吗”这一核心问题。我们看到，这一编排方式为实现上述目标提供了契机。

二、培养数学思维能力

数学是思维的体操。在高中阶段，很多数学问题都可以根据某些假设，经过逻辑推理得到结论。学生应当能从一些特殊的事例中，发现一般的规律，找到一些内在的关系，并可以对总结出的结论按照一定的程序丝丝入扣地给予证明，甚至列出等式对未知的对象进行求解。要达到这样的目标，教师在教学中就应当注重培养学生的数学思维能力。

课程标准指出：“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。”

数学来自于实践，从林林总总的现象中抽象出本质，并对抽象出的结论进行逻辑论证。抽象是人类创造性思维的最基本特征，而数学每前进一步，都离不开严密的逻辑推理。推理的严密性在数学的发展过程中不可或缺。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果及个人的经验和直觉等推测出某些结论的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。合情推理和演绎推理之间紧密联系、相辅相成，对培养人的发散性思维和创造性思维具有重要的作用，人类的发明创造始于感性的发散性思维，止于理性的收敛性思维。

教材从（a+b）2、（a+b）3的展开式中每一项是如何得到的入手，对难点进行突破，指出：由于（a+b）2=（a+b）（a+b），所以（a+b）2的展开式中的每一项都是从两个括号中各取一个字母的乘积;由于（a+b）3=（a+b）（a+b）（a+b），所以（a+b）3的展开式中的每一项都是从三个括号中各取一个字母的乘积。当然，这样得到的项有同类项，通过合并同类项，就得到了相应的展开式。在此基础上，通过类比可知：一般地，对任意的n∈N*，由于（a+b）n=（a+b）（a+b）…（a+b），所以（a+b）n的展开式中的每一项都是从n个括号中各取一个字母的乘积，如果取了r（r=0，1，2，…，n）个b，即从n个括号中选取了r个括号，每个括号中取b，那么必定从余下的n-r个括号中都取a，这样形成的项就为an-rbr。由于这样的取法共有C■■种，所以an-rbr共有C■■个，表明（a+b）n的展开式中，an-rbr的系数为C■■，从而得到了二项式定理：（a+b）n=C■■an+C■■an-1b+…+C■■an-rbr+…+C■■bn，其中n∈N*。右边的多项式叫作（a+b）n的二项展开式，式中的C■■an-rbr叫作二项展开式的通项，用Tr+1表示，即展开式的第r+1项：Tr+1=C■■an-rbr，其中的系数C■■（r=0，1，2，…，n）叫作二项式系数。

上述对二项展开式的探求过程，从特殊到一般，将合情推理（归纳与类比）和演绎推理有机地结合起来，既让学生感受了数学研究与发现的过程，又培养了学生严谨的学习态度和锲而不舍的数学理性精神，激发了他们学习数学的动力。

三、课堂教学建议

现代数学的发展表明，数学教学要倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。基于上文中的分析，笔者建议在课堂教学中应提出如下问题，逐步引导学生深入思考。

（1）（a+b）n（n∈N*）能展开吗？怎么展开？

（2）（a+b）n（n∈N*）的展开式有多少项？你是怎么发现的？

（3）（a+b）n（n∈N*）的展开式中各项的次数有什么特点？你是怎么发现的？

（4）（a+b）n（n∈N*）的展开式中各项的系数有什么特点？你是怎么发现的？

（5）对于上面的几个问题，你遇到困难了吗？对于（a+b）n（n∈N*）的展开式，还可以怎么理解？

当然，在实际教学过程中也发现学生一般很难把上述几个问题联系起来回答，对于问题（1）的回答必定是“能，用多项式的乘法展开”，这种回答是基于他们对“幂”的意义的理解;而对于问题（2）的回答必定是“n+1项，通过观察、归纳得到”;对于问题（3）的回答必定是“都是n次，通过观察、归纳得到”;但对于问题（4）的回答就不会那么直接了，学生最终会找出这些系数与指数的关系，但很难一下子说清楚。也许有的学生会从n=2，3，4时的展开式是按照a的降幂方式（或b的升幂方式）呈现的前提下，发现（a+b）3=（a+b）2（a+b）=（a2+2ab+b2）（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，其中的项a2b可由第一个括号中的2ab与第二个括号中的a相乘得到，也可以由第一个括号中的a2与第二个括号中的b相乘得到，从而a2b的系数为2+1=3…;（a+b）4=（a+b）3（a+b）=（a3+3a2b+3ab2+b3）（a+b）=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，其中的项a3b可由第一个括号中的3a2b与第二个括号中的a相乘得到，也可以由第一个括号中的a3与第二个括号中的b相乘得到，从而a3b的系数为3+1=4…，这样下去，会得到后面将要学习的“杨辉三角”，学生会感觉到这其中有一种规律存在，但无法用具体的数学语言或符号表达出来。问题（5）就是让学生换个角度思考问题：孤立地对每个终端对象（在这里是展开式）的观察往往是表面的、肤浅的，而对对象产生的过程（在这里是每一项的形成）进行观察、分析，看到的则会是本质。只有找到项的形成方式：由于（a+b）n=（a+b）（a+b）…（a+b），所以（a+b）n的展开式中的每一项都是从n个（a+b）中各取一个字母的乘积，才能发现（a+b）n的展开式中共有2n项，每一项的次数都是n，其中有些项是同类项，an-rbr（r=0，1，2，…，n）可以看作是从n个（a+b）中选取了r个（a+b），每个（a+b）中取b，从余下的n-r个（a+b）中都取a，经过乘积而得，这样的取法共有C■■种，所以an-rbr的系数就是C■■。

如果按照b的升幂这一规则排列，那么（a+b）n的展开式的表达方式就是唯一的、确定的，就不可能产生歧义或其他理解，就成了定理，从而C■■就反映了二项式（a+b）n的展开规律，才称为“二项式系数”。

二项式定理的本质是一个数可以有两种不同形式的表达：幂的形式和多项式的形式，简单地说，就是“算两次”。尽管表达形式不同，但数值始终相等。根据二项式定理，不但可以求出（a+b）n的展开式，而且可以直接写出某个特定的项。

综上，笔者始终以为，数学思维的教育意义，不是为了培养数学家，而在于培养人的数学观念和理性精神，为每一个未来公民的发展打基础;在于培养人积极地寻找、概括一定范围内的事物的共同特征或一定阶段内事物变化规律的意识;在于培养人本质地看问题的意识，从一定的角度把事物的相关的质提取出来;在于培养人的良好思维习惯，形成良好的思维策略，增强人的反应能力。学习数学，就是要学会逻辑地观察、分析、思考问题，使人有条理地按照事物发展的逻辑顺序处理问题，有条不紊地安排工作和生活。

数学思维教育就是要为学生创造最能激发思维的情境，促使学生进行循序渐进、不断深入的思考，促进学生用数学头脑对待问题，使理性思维得到健康发展。

在数学课堂上，如何拓展学生的数学观念，如何有效地促成学生的数学思维，如何培养学生思维的深刻性、广阔性、独创性，训练学生的抽象思维能力和形象思维能力，是需要每个教师做出思考与选择的问题。所以教师在教学过程中应当为学生设置合理的、有助于学生思维发展的台阶，应多给学生留一点思维的空间，给学生多一点尝试的机会，让他们跳一跳能够达到一个更高的层次。

【参考文献】

[1]普通高中数学课程标准（实验）[S].北京：人民教育出版社，2003.

[2]单墫.普通高中数学课程标准实验教科书·选修2-3[M].南京：江苏教育出版社，2012.