一道中考“数学建模”试题的赏析和反思

张宇清 云鹏

《数学课程标准》强调要重视学生从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型，让学生初步形成模型思想，提高应用意识和解决问题的能力.利用“数学建模”解决应用问题，已成为近年来中考的一大热点.2015年淄博市中考数学第22题以“修建蓄水池，屋顶收集雨水”为背景，考查学生数学建模的能力，题型新颖，引人注目.笔者作为今年阅卷的亲历者，有幸欣赏到许多优秀的解题思路，同时也发现了一些典型错例，而这些正是我们研究学生，反观自己教学的极好素材.在此整理出来，与大家分享，同时体会中考试题的价值和意义.

1 原题呈现

为充分利用雨水资源，幸福村的小明和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法.已知小明和爷爷家的屋顶收集雨水面积、蓄水池的容积和蓄水池已有水的容量如下表：

气象预报即将会下雨.为了尽可能多的收集雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？

2 解法赏析

应用数学知识去解决实际问题，首先要把实际问题中的数学问题明确地表述出来，也就是说，要通过对实际问题的分析、归纳给出以描述这个问题的数学提法，然后才能使用数学的理论和方法进行分析，得出结论，最后再返回去解决现实的实际问题.由于实际问题的复杂性，往往很难把现成的数学理论直接套用到这些实际问题上，这就必须要在数学理论和所要解决的实际问题之间构建一个桥梁来加以沟通，以便把实际问题中的数学结构明确地表示出来，这个桥梁就是“数学模型”，这个桥梁的构建过程就是“数学建模”.以下从数学建模的角度来梳理本题的多种解法.

2.1 构建数与式模型

数与式是最基本的数学语言，是描述和表达数学应用问题的重要策略之一.应用数与式解题的关键是弄清题意，理解题中的关键词、句的含义，准确地列出算式，将日常文字语言翻译成数学语言，构建数与式模型，解决实际问题.

解法1 小明家蓄水池剩余容积：50-34=16（m3），爷爷家蓄水池剩余容积：13-11.5=1.5（m3），小明和爷爷家总共最多可收集雨水：16+1.5=17.5（m3），小明家可收集雨水爷爷家可收集雨水=160120=43，小明家可收集雨水：47×17.5=10（m3），爷爷家可收集雨水：37×17.5=7.5（m3），下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取：16-10=6（m3），或7.5-1.5=6（m3）.答：先从爷爷家的蓄水池中抽取6立方米的水注入小明家的蓄水池，才能收集尽可能多的雨水.

2.2 构建方程（组）模型

本题以文字和图表的形式呈现题干内容，要求考生能阅读、理解给出的材料，构建方程（组）模型.关键是要对试题的信息进行观察、比较、归类、识别、提取、筛选，寻找问题中的已知量、未知量之间的等量关系，建立方程，从而找出最佳方法，准确、快捷地解题.

解法2 设下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，根据题意得：160120=50-（34+x）13-（11.5-x），解得：x=6，经检验，x=6是原方程的根.答：略.

解法3 50-（34+x）160=13-（11.5-x）120，其他同解法2.

解法4 设屋顶每平方米收集雨水am3，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，根据题意得：（34+x）+160a=50，

2.3 构建不等式（组）模型

在现实世界中，正如相等关系一样，不等关系也是普遍存在的，许多问题中，很难确定（有时也不需要）具体的数值，则可挖掘实际问题所隐含的数量关系，建立不等式（组）模型，进而解决实际问题.

解法9 设下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，根据题意得：34+x+160a≤50，

2.4 构建函数模型

函数反映了事物之间的广泛联系，揭示了现实世界数量关系和运动、变化规律.对于现实生活中普遍存在的最优化问题，如用料最省、成本最低、利润最大等，可透过实际背景，建立函数模型，转化为求函数最值问题.本题中“尽可能多的收集雨水”启发我们，可以试探着通过构建函数模型解决问题.

解法10 设屋顶每平方米收集雨水xm3，小明和爷爷家最多可收集雨水ym3，根据题意得：y=34+160x+11.5+120x，整理得：y=280x+45.5，因为y的最大值为50+13=63，此时，280x+45.5=63，解得：x=116，所以，160×116=10，50-10-34=6，或120×116=7.5，7.5-（13-11.5）=6（m3）.答：略.

纵观以上10种解法，解法1是算术方法，其他解法皆属于代数方法.解法1运用了两数和、两数差模型、比例模型，思路清晰、目标明确；其他解法也各有所长，其中方程（组）模型用得最多.同样是构建数学模型，算术方法和代数方法的最大区别就在于思考问题的方向不同.打个比方，如果未知数在对岸，那么算术方法，好象摸着石头过河找到未知数，代数方法好象用绳索将对岸的未知数捆好拉过河来，二者的思考方向刚好相反.

3 错例剖析

在阅卷中，我们发现了大量错解，最典型的有以下两种：

错解1 小明家蓄水池剩余容积：50-34=16（m3），爷爷家蓄水池剩余容积：13-11.5=1.5（m3），小明和爷爷家总共最多可收集雨水：16+1.5=17.5（m3），下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取：17.5-11.5=6（m3）.答：略.

这种解法很有迷惑性，前三步都是正确的，最后一步毫无道理，却阴差阳错得到了正确的结果.阅卷老师稍不留神就会错批.说出来道理又特别简单，因为在这种解法中，有两个至关重要的量“小明和爷爷家屋顶收集雨水的面积”根本就没有用到.得出正确结果只是一种巧合.

错解2 设下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取x立方米的水注入小明家的蓄水池，根据题意得：50-（34+x）=13-（11.5-x），解得：x=7.25.很显然，这种解法也忽略了“小明和爷爷家屋顶收集雨水的面积”这两个重要的条件.

为什么这两类同学都会忽略“小明和爷爷家屋顶收集雨水的面积”这两个重要的条件呢，究其原因，最根本的就是没看懂题，不理解“修建蓄水池、屋顶收集雨水”的真正含义，把“修建蓄水池”和“屋顶收集雨水”这两个相互关联的事件割裂开来.题目本身的叙述并没有问题，但学生由于缺乏实际生活经验，却很难准确地理解题意.如果命题者把问题描述的更通俗一些，或许对学生的理解会有所帮助.比如可以这样叙述“为充分利用雨水资源，幸福村的小明和相邻的爷爷家采取了修建蓄水池、屋顶收集雨水的做法.他们两家屋顶四周都设置了“虹吸管”（一种排水系统），能够将屋顶的雨水通过水管收集到地面的蓄水池里.”

4 阅卷启示

我国北方长期缺水，严重影响人们的生活和经济发展.因此把雨水作为重要水资源加以收集利用，实行综合治理已经成为一个重要的新兴课题.命题者从数学的角度，引领大家关注社会热点问题，运用数学建模解决实际问题，是这道中考题的一大亮点.

从阅卷情况来看，此题得分率不高，满分为8分的题，平均分却不足2分，而且出现了大量的0分卷.可见，此题有一定的难度，区分度较高，具有较强的选拔功能.反思这道题的难度，和一些更加复杂的应用题相比，难度并不算太大.但为什么会出现大量0分呢？问题出在“新”上.因为这是一道原创题，是一道新题.对很多学生来讲，“新”题就意味着是难题，特别是对那些缺乏数学建模能力的学生.通过这道中考题可以让我们看到试题创编者的独具匠心，源于课本知识而又融合数学思想和方法，让学生既有似曾相识之感而又需努力接受挑战，让我们感受数学模型之美，也体验数学建模之效.数学建模给学生们再现了一种微型的科研过程，这对学生们今后的学习和工作无疑会有很好的影响，也对学生的能力提出了更高层次的要求.数学建模能力已成为学生良好认知结构中不可或缺的能力，数学建模能力的培养也成为教师的一个研究课题.

5 深度思考

5.1 关于设问的两点设想

就当前的教学状况看，稳妥起见可以在此题的设问环节把“为了收集尽可能多的雨水”改为“为了收集尽可能多的雨水（即保证同时注满两池水）”，如此设计的好处是，便于学生找到等量关系，照顾到更多的学生理解题意；但这样设计的缺陷也是明显的，让学生失去了寻找模型的机会.

也可以胆子再大一点，将“为了尽可能多的收集雨水，下雨前需从爷爷家的蓄水池中抽取多少立方米的水注入小明家的蓄水池？”的设问再开放一些：“为了尽可能多的收集雨水，在现有条件下，应该怎么办？”让学生经历设计解决具体问题的方案，并加以实施的过程，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题.

这样一来，使这个问题中的模型思想得到了充分体现.但一方面考虑到学生要在规定的时间内解决问题，同时也考虑到问题本身的难度，风险较大.当然，中考题不如此呈现，不等于我们的教学不能如此实施.

5.2 对当前教学的一点建议

我们知道，一个活生生的问题情境包含的信息往往是多元的.通常需要我们综合运用各种信息才能准确表达、理解问题，并综合运用不同信息，合理转化，建立方程、函数等模型，灵活解决问题.教学中，教师要通过研究问题的探究过程、解题思路的获得过程，来帮助学生深化对数学概念规律的理解，掌握探究解决问题的科学方法，领悟各种数学思想对问题解决过程的统帅调控作用.为什么学生在面对这些综合性的实际问题时的表现不容乐观？很重要的一个原因是我们在平时的教学中，对综合信息的数学化转化过程重视不够，从而造成在面对问题时不知道问题的实际意义对应的数学要义是什么，反映在数学模型上的特征是什么，从而导致了从生活到数学、从数学到生活两个环节瓶颈效应的产生，笔者认为这才是数学应用能力仍然较弱的根本原因.

教学中，教师若能选取类似本文提到的这样的好题，留给学生足够的时间思考，提供学生展示自己想法的机会，并组织学生对不同思路进行适当的比较和讨论，学生就能自然地把题目涉及到的相关知识加以联系，构建成一个整体，达到灵活应用数学知识的程度.这样做，会比机械地重复大量的训练题目的效果要好很多.进行类似于此题的“一题多解”的教学，不仅有利于学生掌握基础知识，提高解题能力，而且也有利于开阔学生的视野，有效地培养学生思维的广阔性和灵活性，提高学生的综合应用水平.

作者简介 张宇清，中学高级教师.淄博市数学学科带头人、淄博市优秀教师.曾获市级优质课评选第一名，省优质课评选一等奖，多次执教市级观摩课、公开课.参与主编十余本教辅用书，40多篇论文在国家及省级刊物发表.