例谈数学解题过程中的通性通法

杨宝平

通性通法，是指具有某些规律性和普遍意义的常规解题模式和常用的数学思想方法.《义务教育数学课程标准2011版》指出，数学问题的解决要使学生经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法.下面以2015年济南市学业水平考试数学试题第28题为例探讨一下数学解题过程中的通性通法问题.

题目 已知，抛物线y=ax2+bx+4（a≠0）过点A（1，-1），B（5，-1）与y轴交于点C.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）如图1，连接CB，以CB为边作平行四边形CBPQ，若P点在直线BC上方的抛物线上，Q为坐标平面内的一点，且平行四边形CBPQ的面积为30，求点P的坐标；

（3）如图2，⊙O1过A、B、C三点，AE为直径，点M为弧ACE上的一个动点，C不与点A、E重合，∠MBN为直角，边BN与ME的延长线交于N，求线段BN长度的最大值.

问题（1）：求解抛物线的解析式.

从通性通法的角度来看该问题实际是对待定系数法的考查.初中阶段任何一种函数关系式的确定都是使用该法，即先根据题目要求设相应函数的一般关系式，然后在图象上找到相应的坐标点代入形成方程组，求出方程组的解便可以解决问题，当然如果其中提供的点有特殊性也可以作为问题突破口.

解法1：如图1所示，由题意将A（1，-1），B（5，-1）代入抛物线y=ax2+bx+4得方程组，求出a=1、b=-6，即可求出解析式y=x2-6x+4.

解法2：由题意A（1，-1），B（5，-1）是二次函数图象上一对对称点，所以其抛物线的对称轴为直线x=3，由抛物线的对称轴公式可得b=-6a，再结合A、B中的任意一点就可以求a=1、b=-6，进而求出抛物线的解析式y=x2-6x+4.

问题（2）：求点P的坐标.

从通性通法角度看，关于点的坐标问题无非两条路线，一是在已知函数关系式的情况下通过联立方程组求解出点的坐标；二是在平面直角坐标系中利用图形的性质通过相关计算和证明，求出相关线段的长度，进而转化出点的坐标.在解题的过程中要紧紧围绕这两种思路，这便是该问题的通解通法.

解法1 利用平移.

如图3所示，平行四边形CBPQ，PQ∥BC，由平行四边形CBPQ的面积为30，我们可以BC为底可求出其高，将其高沿BC方向进行平移，在此过程中高的一端在BC上移动，而另一端的运动轨迹为直线.求出该直线解析式为y=-x+10，然后与抛物线解析式y=x2-6x+4联立即可求出点P的坐标（-1，11）和（6，4）.

解法2 利用等底同高.

如图3所示，过B作y轴的垂线，垂足为D，△BCD为等腰直角三角形，由等底同高可以求出H坐标（3，7），过H作BC的平行线PQ，求出PQ的解析式，结合解法1即可求出点P的坐标（-1，11）和（6，4）.

解法3 利用点到直线的距离.

如图4所示，利用铅垂距离.

过P作x垂线交直线BC于H，P为抛物线上的一点，所以可以设P为（m，m2-6m+4），H（m，-m+4）.利用坐标差表示出PH的长，通过面积为30和点到直线的距离求出P（-1，11）和（6，4）.

解法4 利用面积和差.

我们知道求解面积问题一般分为两种：一是直接方法；一是间接方法.在这里我们从间接的角度处理如下：如图5所示，P为抛物线上的一点，所以P为（m，m2-6m+4），CP为平行四边形的对角线，所以△BCP面积为15，由题意S△BCP=S梯形CDGP-S△BPG-S△BCD，代入相关量即可求出P（-1，11）和（6，4）.

综合上述四种解法，我们不难发现前两种解法基本沿用函数路线，通过联立方程组求点的坐标，后两种解法沿用图形路线利用图形的性质通过相关计算和证明，求出相关线段的长度，进而转化出点的坐标.这要求我们在日常的课堂教学中加强学生这方面的培养，使多数学生都能炼就一双找点、求点的“火眼金睛”.

问题（3）：求线段BN长度的最大值.

从通性通法的角度考虑几何最值问题：一是分析定点、动点，寻求不变的特征或数量关系；一是看是否属于常见模型，若是常规模型（奶站模型、天桥模型、折叠模型），则调用模型解决问题，若不属常规模型，则要结合要求的问题，根据不变的特征转化基本定理或函数表达式解决问题.该问题属于第二种几何最值，所以选择如下解答方法：

解法1 如图6所示

在点M运动的过程中，∠NMB=∠EAB，tan∠NMB=tan∠EAB，因此当BM取最大值时BN取得最大值.

解法2 根据题意∠NMB=∠EAB，∠NBM=∠EBA，可得出△EAB∽△NMB，即可求出BN是BM的正比例函数关系式，同样当自变量BM最大时因变量BN取得最大值.

通过以上三个问题探讨，我们可以看出通性通法在数学解题中起到非常重要的作用，而正是这种具有普遍意义的解题方法，却是在问题解决过程中最实际、最适用的，也是各地学业水平考试的重要考查点，这也势必会成为数学问题解决方法发展的主流.我们知道学生对学业水平考试的处理过程是一个学生创造的过程，一个批判、选择的过程，一个充满想象、探索和体验的过程，而通性通法的灵活把握会对问题的解决起到事半功倍的效果，因此，我们在日常教学中要把通性通法放在一个重要的位置，将其渗透于每一堂课之中，引导学生及时总结归纳问题解决的通性通法，加强对通性通法的训练与提高，只有这样才能真正实现高效课堂和提高学生的数学素养的双重目标.