阿波罗奥尼斯定理的美妙证明及应用

皇杰霖+李世臣

阿波罗奥尼斯定理，又称三角形中线长定理，其内容表达为：三角形一条中线两侧所对边的平方和等于底边一半的平方与中线平方和的2倍.其证明方法有很多，常见的有垂线段法、坐标系法、余弦定理法等，下面介绍一种简单明了，而又引人深思的证明方法.

问题引导 在△ABC中，AM是BC边的中线，若BC=a，AC=b，AB=c，AM=t.求证：t2=12（b2+c2）-14a2.

思路点拨 如图1，将公式变形为b2+c2=2t2+212a2，其几何形式为AB2+AC2=AM2+AM2+MC2+MC2，等号右边的形式使我们想到等腰直角三角形两条直角边的平方，于是联想到能否构造直角三角形利用勾股定理来解决问题，这样就想到了我们熟知的一个几何模型：共顶点的两个直角等腰三角形.

评注 因为mn2-4m3=m（n-2m）（n+2m），根据一元三次方程有有理根理论知，±m、±（n+2m）、±（n-2m）可能是方程的根，经检验它们都不是有理数域上三次方程的根，所以满足方程的根不可能通过尺规作图，即三等分任意角尺规不能作图.

解后反思

通过以上解题过程的探究，我们知道了做题时要认真审题，仔细分析，周密思考，慎重求解，要充分挖掘隐含条件，切忌钻牛角尖，因思维定势而导致错误，要学会添加辅助线，把我们学的相似和全等的知识运用到解题中来.遇到此类问题，首先从已知条件出发，把所要求或证明的线段转移到同一特殊平面图形中，其次，要对问题深入探究，挖掘问题本质内涵，提炼升华，最后要把获得的基本结论或基本模型记录下来，并试着用它们解决其它问题，学会用“发现——解决——拓展——应用”的思维模式学习数学，达到触类旁通，灵活运用！

数学学习是一个不断反思、不断总结的过程，在学习中常反思、常总结，对学过的知识进行系统地回顾，我们的数学素养就会不断提升.学习数学不能生搬硬套，要灵活变通，对问题要学会变式、延伸和拓展，通过观察与思考，得到更多的结论，学习多种多样的思维方法和解题技巧，让数学把我们的学习与生活变得更加丰富多彩，其乐无穷！