动点问题伴对称以退为进获思路

最近几年绍兴市中考数学试卷总是锐意创新，原创度高，给命题研究、教学指向带来很好的导向.2015年仍然如此，以一道以特殊四边形为载体的动态问题融坐标系中作为压轴题，尤其是最后一问的取值范围的求解，引来了几个数学QQ群中不少教师的热议和交流，探讨题中m的取值范围该怎么求？本文尝试对该题第（3）小题中m的取值范围进行思路突破，并给出解后反思，与同行研讨.

1 试题呈现

在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，OA=4，OC=2，点P、点Q分别是边BC、AB上的点，连结AC，PQ，点B1是点B关于PQ的对称点.

3 m的取值范围的突破

由于命题组只给出m的取值范围的直接答案，这使热衷于试题研究的教师也产生被“卡壳”的现象，因此，不少教师陆续在几个数学QQ群中求助或交流m的取值范围的解答过程.基于此，笔者也重拾试卷，静心下来，认真思考，如何破解命题组特意设置（控制满分）的这道“坎”？

记得苏谆教授曾说：“简单情形正象是一把钥匙、一面镜子，可以为我们解答复杂的数学问题提供启示与借鉴”.对于一类以探究“定值”、“定点”、“定线”为特征的数学题，可以通过“主动寻求与建构特例”，巧妙锁定思维方向，迅速实现问题解决.因此，对动点产生的图形问题，有时考虑极端情形，如量的最大、最小，图形特殊位置或临界位置等，能找到解题的突破口，从极端情形的讨论和研究找到解决最值问题的方法，进而确定图形的大致图象.因此，笔者认为解答动态型试题时应先足够的退，如把点P、点Q、点E、点F按题意分别退到我们最容易看清楚问题的地方，认透了，钻深了，然后再上去，这就是“以退为进”的解题策略，沿着这一思路，终于找到了解题的突破口，使问题出现了转机，看到了曙光.

4 解后反思

笔者认为，该问“难”在突出考查学生对数学问题本质认识的深刻程度，考查学生利用数学思想寻求解题方法的素养，考查学生运用所学知识解决动态伴对称（翻折）问题的分析能力和以退为进意识，考查学生解决该问的综合能力.因此，研究具有代表性和典型性的中考压轴题，能更好地改进教学，提升教学.

4.1 关注思想方法，为学生提升素养蓄势储能

数学思想方法是解决数学问题的核心，它支撑和统帅着数学知识.每一个问题的解决过程中都悄悄地流淌着思想方法的潜流，教师的重要工作就是让这些思想方法清晰起来，明亮起来.本题在思想方法上着重体现了分类讨论思想（如既要对点B1在线段FE上还是在延长线上分类，还要对点P、点Q、点E、点F的位置进行分类考虑）和转化思想（如构造出Rt△AB1H等），除此以外，还需用到数形结合、方程等思想方法.在解题教学中，我们一定要积极引导学生观察题目的表象、探求解题方法、整理解题思路、总结解题规律、归纳解题思想，着眼于学生思维的发展.

4.2 立足构造图形，为学生分解难点铺路塔桥

构造图形是解决几何问题的灵魂，良好的作图能力，可以开拓一个人的解题思路.本题在求m的取值范围的设置上特别注重了该方面的考查，除了第（1）小题可以直接使用原题的图形外，第（2）小题的解决，需要从解读题意中得到发现和确认，特别是点P、点Q、点E、点F的位置影响了m的取值范围的求解、分类讨论的走向；接下来就是根据临界点分类画出符合要求的图形（最好是分离后的简化图形，如图5～8），这将为进一步突破思路提供了研究的平台.如果没有良好的几何构图能力，是很难破解m的取值范围.

4.3 强化错因分析，为学生经验积累提供保障

数学学习的关键是解题.数学解题，如果就题论题，不认真领悟其中蕴含的重要数学思想和方法，就容易陷入题海之中，事倍功半.因此，针对学生解题中出现的错误，教师应把重点放在错题价值的挖掘上，对错误的“障碍点”进行重点“敲打”，努力使崎岖曲折的道路变得平直畅通，便于总结解题的一般规律.总结发现知识和技能中的“盲点”或“误区”，及时克服和弥补.回顾反思难点突破的过程，将有关的技能、技巧通过“上岗上线”，进一步与基本数学思想挂钩，并将它们组建成网络系统.对错题由此及彼，举一反三，广泛联想，求新应变，使学生收到“解一题，会一类，熟一片”之功效.

4.4 重视变式训练，为学生思维升华拓展空间

初三的解题教学应当多变式，变式一方面起到系统知识，发散思维的作用；另一方面通过变式训练和培养学生的问题分析能力，引导学生对数学问题从多层面、多角度进行延伸探究，有意识地引导学生从“变”的现象中分析“不变”的本质，从“本质”中发现规律.变式教学要围绕讲解的目的性和针对性展开：明确是训练学生的计算能力，还是深化学生思维；是进一步巩固基础，还是提高学生能力；是提醒学生哪些地方易错，还是磨练学生解题意志.有效地拓展更好的服务于讲解，深化了讲解，提升了课堂的质量.

当然，试题编制犹如建筑设计，是一门遗憾的艺术.这道题正如网友所言，有“超人现象”，是命题教师“众人智慧”+几何画板经过“千锤百炼”编制而成的，因此对命题者而言或许只是“小菜一碟”，可是对学生来说求m需费尽周折、绞尽脑汁，因为考场上学生是“孤独作战”，思考时间受限制，且没有这种工具，该怎么办？从这一点来看，这一问似乎留下了一些淡淡的遗憾.为此，笔者呼吁：命题者慎用几何画板命题，必须换位思考，从学生实际出发，请勿要借用这种工具显示自己超人的“才华”.

参考文献

[1]陈建，顾光林.从教学的角度谈一道中考题的探究[J].中国数学教育（初中版），2014年（11）：48-51.

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[3]沈岳夫.例谈“极端化策略”法在解题中的运用[J].中学数学杂志（下），2014（8）：45-47.

[4]钱德春.试题编制，一门遗憾的艺术——2014年泰州中考数学第25题的分析与反思[J].中学数学杂志（下），2014（8）：50-52