动点问题伴对称以退为进获思路

2015-10-27 01:09沈岳夫
中学数学杂志(初中版) 2015年5期
关键词:命题考查图形

最近几年绍兴市中考数学试卷总是锐意创新,原创度高,给命题研究、教学指向带来很好的导向.2015年仍然如此,以一道以特殊四边形为载体的动态问题融坐标系中作为压轴题,尤其是最后一问的取值范围的求解,引来了几个数学QQ群中不少教师的热议和交流,探讨题中m的取值范围该怎么求?本文尝试对该题第(3)小题中m的取值范围进行思路突破,并给出解后反思,与同行研讨.

1 试题呈现

在平面直角坐标系中,O为原点,四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上,OA=4,OC=2,点P、点Q分别是边BC、AB上的点,连结AC,PQ,点B1是点B关于PQ的对称点.

3 m的取值范围的突破

由于命题组只给出m的取值范围的直接答案,这使热衷于试题研究的教师也产生被“卡壳”的现象,因此,不少教师陆续在几个数学QQ群中求助或交流m的取值范围的解答过程.基于此,笔者也重拾试卷,静心下来,认真思考,如何破解命题组特意设置(控制满分)的这道“坎”?

记得苏谆教授曾说:“简单情形正象是一把钥匙、一面镜子,可以为我们解答复杂的数学问题提供启示与借鉴”.对于一类以探究“定值”、“定点”、“定线”为特征的数学题,可以通过“主动寻求与建构特例”,巧妙锁定思维方向,迅速实现问题解决.因此,对动点产生的图形问题,有时考虑极端情形,如量的最大、最小,图形特殊位置或临界位置等,能找到解题的突破口,从极端情形的讨论和研究找到解决最值问题的方法,进而确定图形的大致图象.因此,笔者认为解答动态型试题时应先足够的退,如把点P、点Q、点E、点F按题意分别退到我们最容易看清楚问题的地方,认透了,钻深了,然后再上去,这就是“以退为进”的解题策略,沿着这一思路,终于找到了解题的突破口,使问题出现了转机,看到了曙光.

4 解后反思

笔者认为,该问“难”在突出考查学生对数学问题本质认识的深刻程度,考查学生利用数学思想寻求解题方法的素养,考查学生运用所学知识解决动态伴对称(翻折)问题的分析能力和以退为进意识,考查学生解决该问的综合能力.因此,研究具有代表性和典型性的中考压轴题,能更好地改进教学,提升教学.

4.1 关注思想方法,为学生提升素养蓄势储能

数学思想方法是解决数学问题的核心,它支撑和统帅着数学知识.每一个问题的解决过程中都悄悄地流淌着思想方法的潜流,教师的重要工作就是让这些思想方法清晰起来,明亮起来.本题在思想方法上着重体现了分类讨论思想(如既要对点B1在线段FE上还是在延长线上分类,还要对点P、点Q、点E、点F的位置进行分类考虑)和转化思想(如构造出Rt△AB1H等),除此以外,还需用到数形结合、方程等思想方法.在解题教学中,我们一定要积极引导学生观察题目的表象、探求解题方法、整理解题思路、总结解题规律、归纳解题思想,着眼于学生思维的发展.

4.2 立足构造图形,为学生分解难点铺路塔桥

构造图形是解决几何问题的灵魂,良好的作图能力,可以开拓一个人的解题思路.本题在求m的取值范围的设置上特别注重了该方面的考查,除了第(1)小题可以直接使用原题的图形外,第(2)小题的解决,需要从解读题意中得到发现和确认,特别是点P、点Q、点E、点F的位置影响了m的取值范围的求解、分类讨论的走向;接下来就是根据临界点分类画出符合要求的图形(最好是分离后的简化图形,如图5~8),这将为进一步突破思路提供了研究的平台.如果没有良好的几何构图能力,是很难破解m的取值范围.

4.3 强化错因分析,为学生经验积累提供保障

数学学习的关键是解题.数学解题,如果就题论题,不认真领悟其中蕴含的重要数学思想和方法,就容易陷入题海之中,事倍功半.因此,针对学生解题中出现的错误,教师应把重点放在错题价值的挖掘上,对错误的“障碍点”进行重点“敲打”,努力使崎岖曲折的道路变得平直畅通,便于总结解题的一般规律.总结发现知识和技能中的“盲点”或“误区”,及时克服和弥补.回顾反思难点突破的过程,将有关的技能、技巧通过“上岗上线”,进一步与基本数学思想挂钩,并将它们组建成网络系统.对错题由此及彼,举一反三,广泛联想,求新应变,使学生收到“解一题,会一类,熟一片”之功效.

4.4 重视变式训练,为学生思维升华拓展空间

初三的解题教学应当多变式,变式一方面起到系统知识,发散思维的作用;另一方面通过变式训练和培养学生的问题分析能力,引导学生对数学问题从多层面、多角度进行延伸探究,有意识地引导学生从“变”的现象中分析“不变”的本质,从“本质”中发现规律.变式教学要围绕讲解的目的性和针对性展开:明确是训练学生的计算能力,还是深化学生思维;是进一步巩固基础,还是提高学生能力;是提醒学生哪些地方易错,还是磨练学生解题意志.有效地拓展更好的服务于讲解,深化了讲解,提升了课堂的质量.

当然,试题编制犹如建筑设计,是一门遗憾的艺术.这道题正如网友所言,有“超人现象”,是命题教师“众人智慧”+几何画板经过“千锤百炼”编制而成的,因此对命题者而言或许只是“小菜一碟”,可是对学生来说求m需费尽周折、绞尽脑汁,因为考场上学生是“孤独作战”,思考时间受限制,且没有这种工具,该怎么办?从这一点来看,这一问似乎留下了一些淡淡的遗憾.为此,笔者呼吁:命题者慎用几何画板命题,必须换位思考,从学生实际出发,请勿要借用这种工具显示自己超人的“才华”.

参考文献

[1]陈建,顾光林.从教学的角度谈一道中考题的探究[J].中国数学教育(初中版),2014年(11):48-51.

[2]赵军,魏先华.一道中考压轴题的命制过程与思考[J].中学数学教学参考(中旬),2014(10):55-57.

[3]沈岳夫.例谈“极端化策略”法在解题中的运用[J].中学数学杂志(下),2014(8):45-47.

[4]钱德春.试题编制,一门遗憾的艺术——2014年泰州中考数学第25题的分析与反思[J].中学数学杂志(下),2014(8):50-52

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