牡 丹
(湖北民族学院理学院,湖北 恩施 445000)
具有转移条件的Sturm-Liouville问题的Green函数
牡 丹
(湖北民族学院理学院,湖北恩施445000)
考虑了具有转移条件的Sturm-Liouville问题,即在有限区间上具有转移条件的问题,并给出了具有转移条件的Sturm-Liouville问题的Green函数.
Sturm-Liouville问题;转移条件;Green函数
Sturm-Liouville(S-L)算子是常微分算子理论中一类十分重要的微分算子.S-L问题起源于固体热传导的数学模型的描述,自问世以来,S-L问题在各种理论科学及应用科学领域里有着广泛的应用[1-3].近些年,算子域中的函数或其导数具有不连续性的问题引起了广泛的关注[4-8].
在文献[9-10]中,作者考虑了具有转移条件的S-L算子,并证明了自共轭性.本文中我们研究在相邻两个区间[-1,0)和(0,1]上具有分离型边界条件和转移条件的S-L问题,给出具有转移条件的S-L问题的Green函数按特征函数的展开式.
在经典的S-L算子问题中,可以利用S-L算子的Green函数,把微分算子问题转化成积分算子问题来进行研究.因此微分算子的Green函数是研究算子问题的主要工具之一.与经典的S-L算子类似,可以构造具有转移条件的S-L算子的Green函数,可以把具有转移条件的S-L算子问题转化成相应的积分算子问题.
在Naimark的著作[11]中作者讨论了经典的S-L算子以及其Green函数G(x,ξ,λ),并给出Green函数按特征函数的展开.本文中,考虑具有转移条件的S-L算子,并给出具有转移条件问题的Green函数按特征函数的展开.
考虑如下Sturm-Liouville方程:
本文的结构为:首先给出所考虑的Sturm-Liouville方程以及相应的边界条件和转移条件.其次定义与转移条件相关联的内积,得到一个新的Hilbert空间,在这一空间中研究具有分离型边界条件和转移条件的SL问题;并构造了S-L方程的两个线性无关解.最后一节给出具有转移条件的S-L问题的Green函数,并利用具有转移条件的S-L问题的特征值和特征函数对Green函数进行展开.
在这一节首先定义与转移条件(4)~(5)相关联的内积,得到一个新的Hilbert空间,在这一新空间中研究具有分离型边界条件和转移条件的S-L问题(1)~(6),再构造S-L方程(1)的两个线性无关解.
在L2(I)中定义一种依赖于转移条件的新内积:
定理1 具有转移条件的S-L问题(1)~(6)是自共轭的,且具有可数多个特征值;在相应的Hilbert空间H上,S-L问题的特征函数系是完备的.
证明 见文献[9-10].
下面构造S-L方程(1)的满足转移条件的两个解.由文献[10]中的定理1.5知:对于每个λ∈ CC,初值问题:
有唯一解φ1(x,λ),且对于每个固定的x∈[-1,0),φ1(x,λ)是关于λ的整函数.设φ2(x,λ)为如下初值问题:
的解,则对于每个固定的x∈(0,1],φ2(x,λ)是关于λ的整函数.令φ(x,λ)为:
则φ(x,λ)是S-L方程(1)满足边界条件(2)和和转移条件(4)~(5)的解.
用类似的方法定义S-L方程(1)的另一解χ(x,λ).设χ2(x,λ)为初值问题:
的解,则对于每个固定的x∈(0,1],χ2(x,λ)是关于λ的整函数.又设χ1(x,λ)为如下初值问题:
的解,则对于每个固定的x∈[-1,0),χ1(x,λ)是关于λ的整函数.令:
由式(9)~(10)知:χ(x,λ)是S-L方程(1)满足边界条件(3)和转移条件(4)~(5)的解.
这一节我们构造具有转移条件的S-L问题(1)~(6)的Green函数,并给出Green函数按特征函数的展开.
考虑如下的非齐次的微分方程:
赋予边界条件和转移条件(2)~(5),其中f∈H,非齐次的微分方程(11)的通解可以表示成:
定理2 设f∈H,并设λ不是S-L问题(1)-(6)的特征值,则S-L问题(1)~(6)的Green函数为如下:
满足方程(11)及边界和转移条件(2)~(5),其中G(x,ξ,λ)是S-L问题(1)~(6)的Green函数.
证明 见文献[13-14].
在本文中,假设λ=0不是S-L问题(1)~(6)的特征值,那么:G(x,ξ)=G(x,ξ,0).
引理2 具有转移条件的S-L问题(1)~(6)等价于:
证明 见文献[14].
在文献[14]中,对具有转移条件的S-L问题的Green函数按特征函数进行展开,得到:其中λn是具有转移条件的S-L问题(1)~(6)的特征值,φn(x)为相应的标准特征函数.
下面讨论具有转移条件的S-L问题(1)~(6)的Green函数的另一种展开形式.
定理3 设λ不是具有转移条件的S-L问题(1)~(6)的特征值,则:
其中:λn是S-L问题(1)~(6)的特征值,φn(x)为相应的标准特征函数.
在给出定理3的证明之前,先考虑下面的引理.
引理3 设y,f∈H且满足非齐次方程(11).设λ不是具有转移条件的S-L问题(1)~(6)的特征值,又设λn为S-L问题(1)~(6)的特征值,则:
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责任编辑:时 凌
Green′s Function of Sturm-Liouville Problem with Transmission Conditions
MU Dan
(School of Science,Hubei University for Nationalities,Enshi 445000,China)
We consider the Sturm-Liouville problems with a very general transmission condition on a finite interval and give the eigenfunction expansion of Green′s function of the Sturm-Liouville problems with transmission conditions.
Sturm-Liouville problems;transmission conditions;Green′s function
0177.1;0175.3
A
1008-8423(2015)04-0379-05DOI:10.13501/j.cnki.42-1569/n.2015.12.006
2015-10-13.
湖北省教育厅科学技术研究项目(B2015099);湖北民族学院博士启动基金项目(4148009).
牡丹(1980-),女(蒙古族),博士,讲师,主要从事常微分算子谱理论的研究.