对习题讲解过程中渗透数学思想与方法的思考

●湖北省武汉市华中科技大学附属中学 周龙虎

对习题讲解过程中渗透数学思想与方法的思考

●湖北省武汉市华中科技大学附属中学 周龙虎

数学思想方法的教学应是数学教学的制高点，夺取它则需靠数学知识的教学，因为数学思想方法总寄居在数学知识内部.因而，解数学题不能只停留在“会解”、“优解”等层面，要深挖其背后的数学思想方法，做到真正的“既懂又会”.

习题课是实施有效渗透数学思想与方法的一大主阵地，好的习题课至少都有以下几个共同的标准：（1）优质的习题，有代表性，内蕴多种数学思想方法；（2）习题的讲解顺其自然，不急不慢，数学思想的提炼合乎情理，在学生的最近发展区内；（3）数学思想方法的总结不囿于所讲的特定题型，具有可迁移性.笔者对习题讲解过程中数学思想与方法的渗透有一些浅见，整理出来，以期与同行分享.

一、突显核心数学思想方法

文1中阐述到数学学院的几位师范生都依次讲解了以下三个问题.

笔者也赞同这种想法，不加铺垫地贸用某种数学思想方法无异于“从帽子里变兔子”，是很要不得的.为何师范生和更多学生看到条件“sinα=-（或“tanα=1”或“tanα=m”）”会条件反射似地想到分类讨论呢？函数思想在作怪！已知三角函数值，自然会想到探求自变量，但基于三角函数是多对一的对应关系的考虑，分类讨论可能

问题2：已知tanα=1，求cosα，sinα.

问题3：已知tanα=m，求cosα，sinα.

其普遍做法是对α的终边位置进行讨论，再逐一求得其他的不同名三角函数值.文1认为对于角的分类讨论不是必须的，同角三角函数基本关系体现的应是“知一求二”的方程思想.会麻烦些，因而我们使用同名三角函数基本关系这一普适性结论会更简洁些，通过对这个问题背后的两种主导的数学思想的明晰和对比，发现方程思想的运用优于函数思想（方程思想是核心思想），师范生和学生才可能真正“知其所以然”.但使用分类讨论也并非没有好处，至少在研究角（弧度）与函数值的对应关系时有效巩固了每个象限内角的三角函数值的正负这一知识点，入微才能悟真.学生不亲历分类讨论这一过程，即使内心上认可了方程思想的精确性，保不定下一次又会“迈进分类讨论这条河流”.因而，习题课中学生的观念和想法要先行，教师才能进行干预并引导.这也侧面阐明了“为什么习题课难上”的原因，习题课好比开放式作文，教学目标不必由本章或本节内容设定.不同的例习题有不同的教学用途，甚至相同的例习题也能发挥不同的功效，关键是对背后数学思想的挖掘，只要教师能说得通，学生能理解得了且会简单运用，由知识上升到思想与方法的意图就达成了.

下面试举一例说明突显核心数学思想的重要性.

例1 如图1，在正方形ABCD-A1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O⊥平面MBD.

在“直线与平面垂直的判定”习题课中，选用该例题的目的是它从多个方面可以判定线

面垂直，或通过位置关系（线面垂直与线线垂直）的转化，或通过度量关系的说明来证明.

可以说是数形结合思想的运用，但绝不能成为该节习题课的主打数学思想.本节课的核心数学思想还应是转化思想，因而不能“剑走偏锋”.值得注意的是，其中蕴含的数形结合思想还是要显现出来，不然学生容易产生“某些特定的数学知识对应某些数学思想方法”的刻板印象，不利于知识间的迁移，不利于数学能力的形成与提升，如2014年江西高考理科卷第10题正是对数形结合思想的巧妙考查.

图1

二、渗透与提炼数学思想方法要讲究循序渐进原则

再成功的一节习题课，都不敢笃定学生在40~45分钟内对课堂所学知识达成灵活运用的地步了，课堂教学是一门“慢”的艺术.知识间关系需要理顺，背后的思想需要揭示，同类型问题需要巩固练习，每一个环节都需要消化，才好吸收.敢说学生如果真正掌握了如何在问题中提炼数学思想方法，必然要经历“悟”→“练”→“悟”→“练”的过程，要知道把思想转进脑袋形成新思想并加以运用是多么困难的事情.文1中从问题1、2到问题3的跨度，不仅仅只是把具体数字改成不定参数了，是常量向变量的飞越.彭翕成老师甚至谈到一个现象“连很多教师都不能接受对方程x2-2xsin=0使用判别式这一做法，理由就是该方程不是一元二次方程”，何况我们的学生呢？

下面从两个方面加以说明渗透与提炼数学思想方法的循序渐进原则.

1.“圆锥曲线”章节习题课的问题串设计方案

例2 如图2，设点A，B的坐标分别是（-5，0），（5，0）.直线AM，BM相交于M点，且它们的斜率之积是求点M的轨迹方程.（选自普通高中课程标准实验教科书人教A版数学（以下简称教材）《数学2-1》第41页例3）

图2

教师引导学生思考，猜想椭圆的另一生成方式（一般规律）并加以证明：

结论1：平面中动点到两定点的斜率之积为负定值的点的轨迹的集合为椭圆，其中定点为椭圆的焦点.

教师引导学生进行逆向思维的探究，顺理成章地提出下面的例题：

变式1：两定点如果换成长轴的两个端点，结论还成立吗？

变式2：两定点如果换成短轴的两个端点，结论还成立吗？

由特殊到一般，猜想并证明.

图3

得到结论2后，不急于推进课程，而是展示出学生练习中的相关结论3，请学生回过头再思考，试图运用结论2给出结论3的几何解释，如图3.结论3：设AB是椭圆的不垂直于对称轴的

结论4：已知双曲线a>0，b>0）上任一点

P（x，y） 到双曲线上关于原点对称的任两点（x0，y0），（-x0，-y0）连线的斜率之积为定值

同类型曲线进行类比探究，提出问题：类似的结论在双曲线中还成立吗？

为巩固习题练习中的探究发现，培养学生的由特殊到一般（或一般到特殊）的数学思想、逆向思维及类比思想，选用2009年辽宁高考数学文科卷第22题及2011年江苏高考数学卷第18题作为练习反馈.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）E、F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值.

例5 （2011年江苏）如图4，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k.

图4

（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB．

当然，也有读者会质疑：“猜想得到核心结论2有必要如此大费周章吗？已知圆中直径AB（不垂直于坐标轴）及圆上任一点C，则有kAC·kAB=-1，即直径所对的圆周角总是直角.利用椭圆与圆的性质类比不就可以轻松得到吗？”但若离开了教师的引导，又有多少学生能自发地类比圆和椭圆的性质了，这绝对比类比椭圆与双曲线的性质或者等差数列与等比数列的性质要难得多.因而，在知识的发生发展阶段，在多种数学思想的碰撞下，这个周期稍长点，数学思想方法的渗透也会更深入些.

2.“点、直线、平面之间的位置关系”章节复习课某例题的讲解实录

例6 如图5，已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥BC，PB⊥AC.求证：PC⊥AB.

图5

图6

师：既然大家已经对线面关系中的转化思想掌握得不错了，并且对两平面的交线又有了独到的认识，我们一起来看应该怎样解决.

师：我们的证明目标是线线垂直，属于垂直关系的“底层”，我们应该怎样转化？

生：转化为用线面垂直或面面垂直证明.

师：怎么构造线面垂直？已知PA⊥BC，不妨选择BC作为线面垂直中的直线，PA作为平面内的直线，还需要什么？

生：此平面内的另一条相交直线与已知直线垂直？

师：怎么作？

生：过A点作AD垂直BC于点D，连接PD，则BC⊥面PAD.

师：同样地，根据PB⊥AC，我们也可以过B点作BE垂直AC于点E，连接PE，则AC⊥面PBE.得到这两个结论，有什么用吗？我们把BE与AD的交点记为O，如图6.

生：面PBE与面PAD的交线是PO，则PO⊥BC且PO⊥AC，那么PO⊥面ABC.

师：很好.那么联系我们的目标PC⊥AB，我们可以得到什么结论？

生：PO⊥AB.

师：而PO与PC确定了平面POC，我们现在就只需要证明AB⊥平面POC，而OC与AB有什么关系？

生：垂直！

师：根据什么？

生：三角形的三条高交于一点.

师：所以AB⊥平面POC.具体证明过程如下：

证明：过A点作AD垂直BC于点D，连接PD.

因为BC⊥PA，BC⊥AD，PA∩AD=A，PA奂面PAD，AD奂面PAD，

所以BC⊥面PAD.

过B点作BE垂直AC于点E，连接PE.

因为AC⊥PB，AC⊥BE，PB∩BE=B，PB奂面PBE，BE奂面PBE，

所以AC⊥面PBE.

记AD与BE的交点为O点，

则PO=面PBE∩面PAD.

所以PO⊥BC且PO⊥AC.

易得PO⊥面ABC.

所以PO⊥AB.

由三角形的三条高交于一点，

可知OC⊥AB.

所以AB⊥面POC.

又PC奂面POC，

所以AB⊥PC.

选用该例题是为了强化线面垂直关系中的转化思想，从问题结论出发，一步步由定理转化得到另一个问题，内蕴分析法的证明思路.但很多老师对这个题的讲解不是按照上面的探究思路展开的，而是直接作PO⊥底面ABC交底面于O点，再证明其是△ABC的垂心，不是容易多了吗？何必要反其道而行之，庸人自扰呢？其实不然，笔者对部分学生做过访谈调查，很多学生根本说不清为什么要直接先找顶点在底面上的射影，但感觉这样做会使问题显得简单不少.不难揣测，研究锥体的外接球半径时，学生有过找顶点在底面上射影的经验；求直线与平面所成的角时有过作平面的垂线的经验，因而产生了模糊的类比迁移.

但问题中蕴藏的数学思想是我们要一步一个脚印诠释清楚并自我解读清楚的，否则离真正的理解还是很遥远的.

1.童杨平，徐章韬.在习题的讲解过程中渗透数学的思想与方法［J］.中学数学（下），2015（4）.