开展探究教学，引领学生主动构建知识——以正弦定理的教学为例

●江苏省如东县丰利中学 顾爱军

开展探究教学，引领学生主动构建知识
——以正弦定理的教学为例

●江苏省如东县丰利中学 顾爱军

随着课程改革的不断深入与发展，传统灌输式教学逐渐退出了舞台，小组探究式教学越来越受到多数教师的青睐，新课程标准也明确提出：让学生在自主探究与合作交流中自主建构知识.在一师一优课、一课一名师活动中，笔者执教了“正弦定理”一课，在教研团队的帮助下，取得了较好的效果.本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维.现把教学过程等整理成文，与读者交流、研讨，以期抛砖引玉.

一、教学内容分析

本节内容安排在普通高中课程标准实验教科书数学必修5（人教A版）第一章.正弦定理（第一课时），是在学生学习了三角函数等知识后学习的，显然是对三角知识的应用.同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，因而定理本身的应用十分广泛.

根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次，教师通过引导学生对实际问题的探索，大胆提出猜想；第二层次，由猜想入手，带着疑问，以及特殊三角形中边角关系的验证，通过“作高法”“等积法”“外接圆法”“向量法”等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形的面积公式；第三层次，利用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用.学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证明，感受“观察—实验—猜想—证明—应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神.

二、教学过程实录

（一）结合实例，激发动机

师：展示情景图（如图1），船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600m，船在港口C卸货后继续向港口A航行，由于船员的疏忽没有测得C、A之间的距离，如果船上有测角仪，我们能否计算出A、B间的距离？

图1

生：测量角A、C.

师：若测得∠BAC=75°，∠ACB=45°，要计算A、B两地的距离，你有办法解决吗？

生：画一个三角形A′B′C′，使得B′C′为6cm，∠B′A′C′=75°，∠A′C′B′=45°，量得A′、B′间的距离约为4.9cm，利用三角形相似的性质可知AB约为490m.

师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还记得吗？

（师生共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个角；②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角）

师：△ABC是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算AB呢？

生：过A作AD⊥BC于D，把△ABC分为两个直角三角形，……（解题过程由学生阐述，教师板书）

师：若AC=b，AB=c，能否用B、b、C表示c呢？

设计意图：兴趣是最好的老师.如果一节课有良好的开头，那么就意味着成功了一半.因此，笔者通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生的思维，激发学生的求知欲，引导学生转化为解直角三角形问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个猜测性的结论——猜想，培养学生从特殊到一般的思想意识，培养学生的创造性思维能力.

（二）数学实验，验证猜想

（1）在△ABC中，内角A、B、C分别为60°、60°、60°，对应的a∶b∶c为1∶1∶1，对应角的正弦值分别为的关系.（学生回答它们相等）

（学生按事先安排分组，教师出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，然后质疑提问：有什么不明白的地方或者有什么问题吗？如果学生没有问题，教师让学生动手计算）

（学生分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度，通过实验数据计算，比较的近似值）

设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望.学生自己进行实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面.

（三）证明猜想，得出定理

师：我们虽然经历了数学实验，有多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学的思想方法证明呢？前面的探索过程对我们有没有启发？

（学生分组讨论，每组派一个代表总结）

生：①在Rt△ABC中，成立，如前面的检验.

②在锐角三角形中，设BC=a，CA=b，AB=c，作AD⊥BC，垂足为D.在Rt△ABD中，sinB=，则AD=AB·sinB=c·sinB.

师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学课后再探索.

设计意图：经历证明猜想的过程，进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜想，力图让学生体验数学的学习过程.

（四）利用定理，解决引例

师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题.

（五）了解解三角形概念

师：一般地，把三角形的三个内角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形.

设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识、新的定理，解决问题更方便、更简单，激发学生不断探索新知识的欲望.

（六）运用定理，解决例题

（师引导学生分析正弦定理可以解决的问题）

生：①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如；②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如

目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路，其他同学补充交流.

设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情，使学生体验到成功的愉悦感，变“要我学”为“我要学”“我要研究”的主动学习.

（七）尝试小结

引导学生总结本节课的主要内容，让学生尝试小结，教师及时补充，要体现：（1）正弦定理的内容及其证明方法；（2）正弦定理的应用范围，即①已知三角形的任意两角及一边，求其他元素，②已知三角形的任意两边和其中一边所对的角，求其他元素；（3）分类讨论的数学思想.

设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力.

三、教后思考

本节定理教学课，把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向.首先，利用解决一个可测量两角及一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问题中，引导学生发现“三角形的三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律；通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明这个定理.在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察—实验—归纳—猜想—证明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，以问题为导向设计教学情境，促使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新，符合新课标重视过程与方法的理念.其次，在解决引例中的测量问题时，利用初中的相似三角形知识、正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形的外接圆、向量）等，都体现了“在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念，加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性.定理证明的方法，渗透了分类、转化的数学思想.但是本节课的教学内容还是偏多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条件更加明确、直接，以免产生歧义，冲淡主体，浪费时间.A