数学教学设计视角：尊重学生的认知规律——以“离散型随机变量的数学期望”一课为例

●北京市第二十中学 王晓青

●北京市第二十中学 付 莉

数学教学设计视角：尊重学生的认知规律
——以“离散型随机变量的数学期望”一课为例

●北京市第二十中学 王晓青

●北京市第二十中学 付 莉

最近研磨公开课“离散型随机变量的数学期望”的教学设计，几易其稿，在课堂实施时，受到了听课老师的认可，课堂效果也比较好.回顾修改教学设计的过程，更多地立足尊重学生的认知规律，让学生能学会，让学生愿意学，让学生的思维获得发展.

一、教学设计的修改过程及修改过程中的思考

1.情景引入的设计和修改

情景引入第一稿：在咨询发达的今天，同学们每天的生活都与数据息息相关，媒体、网络、社交软件都传递着大量的数，通讯、购票、医疗也离不开各种数.那么，你会从数据中读取有价值的信息吗？

最近大家有没有去爱心水站买过水？你知道它每天得准备多少水吗？我找到爱心水站的负责人，了解了水站的经营情况.下表是某段时间内，水站每天的经营情况：

减少瓶数 62 62 63 63 66 66 66 66 82 82回收资金（单位：元）55 42.5 64.8 58.5 60.7 60.7 69 62.5 60.5 78减少瓶数 82 83 84 84 86 86 86 102 110 110回收资金（单位：元）66.1 68 72 61.5 77 73.5 81 102 108.5 116

从这个表中你能得到什么信息？（该问题是开放式的，学生可以从任意角度回答）你会算什么？（此处期望学生答出计算平均数、方差、中位数、众数等统计量）

思考：选择贴近学生生活的实例引入，便于引起学生共鸣，激发学生兴趣.但也有其存在的问题，当学生看到这样的数据时，学生的注意力一定会指向水站的盈亏，并不能像设计初衷所期望的那样让学生关注到平均数，也就是说这样的设计学生的兴趣点与教学目标不一致，课堂实施时学生思维会过于发散无法聚拢到有利于概念生成的信息，从而失去创设情境的价值.基于这样的分析，笔者修改得到第二稿.

情景引入第二稿：大家知道咱们一楼有一个“向日葵”爱心水站吧，你有没有去爱心水站买过水？

如果让你来负责水站的运营，你如何决定每天准备多少瓶水才能满足需求？你会怎么做？（预设回答：根据前一天的情况，或者根据一段时间的平均值）

我找到爱心水站的负责人，了解了水站的经营情况.下表是某段时间内，水站每天被取走水的瓶数统计：

水站每天被取走水的瓶数62 62 63 63 66 66 66 66 82 82 82 83 84 84 86 86 86 102 110 110

从这些数据中你能得到什么信息？你会算什么？（预设回答：平均数、方差、中位数、众数等统计量）

思考：这样的修改，问题的提出有现实应用的针对性，数据的收集服务于问题提出与问题解决的需要，如此渗透数学应用意识，自然容易被学生接受和理解，进而内化为学生自己对生活的观察和思考，提升提出问题、解决问题的能力，从整节课来讲，问题和数据都更容易聚焦，更便于与学生已有的知识相衔接和引出新概念，符合最近发展区理论.

2.概念形成的设计

概念的形成是这节课的核心所在，当学生接触一个新的概念时，既要与原有的认知相比较，发现其中与之类似的部分，又要进行对比区别，找到新概念与已有知识的不同之处，及时发展出新的认知.在心理学大师皮亚杰的认知发展理论中，新的内容会在原有图式的基础上，进行添加和更新，形成对新概念的认识.而课堂教学的任务，就在于让学生在课堂活动中，经历概念形成的过程，体验新、旧知识的联系和区别，发展和完善他们的认知结构.基于以上的认识和对本节课概念的理解，形成了如下的教学设计.

整理数据，关注每天取走多少瓶水的分布情况.

取走瓶数 62 63 66 82 83 84 86 102 110天数 2 2 4 3 1 2 3 1 2

由表计算：这20天共取走了多少瓶水？

62×2+63×2+66×4+82×3+83×1+84×2+86×3+102×1+110×2=1591.

平均每天取走多少瓶水？

换一个角度理解，就是用取走矿泉水的个数乘以频率.

取走瓶数 62 63 66 82 83 84 86 102 110频率 2 20 2 2 0 4 2 0 3 2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 1 2 0 2 2 0

很多随机现象都可以用频率估计概率，所以如果将“一天中取走矿泉水的数目”看做随机变量X，则X的概率分布为：

X 62 63 66 82 83 84 86 102 110 P 2 20 2 2 0 4 2 0 3 2 0 1 2 0 2 2 0 3 2 0 1 2 0 2 2 0

则平均每天取走水的数目为：

那么，由随机变量的分布列生成了一个新的定义，你能类比统计中的平均数给它一个定义吗？

思考：此处设计保持原样，这个设计非常突出新、旧知识之间的联系.整理数据，计算平均数，是学生已有的知识和技能.进而改写式子，引导联想，迁移旧知，生成新知.在整个过程中，学生感受概念的变化、生成，能够充分理解新、旧知识之间的联系，认识新知识的本质.最后一个问题“你能类比统计中的平均数给它一个定义吗”，引出新概念——离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.

在进行完这节高二年级新授课的教学后不久，2014年北京卷数学理科高考的统计概率题目，就考查了学生对于数据的平均数和随机变量的期望之间关系的理解.二者的比较，正是基于学生在接触“数学期望”的概念时，是否理解了期望的意义，而不仅限于记忆公式.

3.新知应用环节的设计及修改

在新知应用环节的教学设计中，笔者对例题的选择进行了不断的修改，主要体现在三稿教学设计两次修改之中.

新知应用第一稿如下所示.

随机变量的期望如何应用呢？

例1 我在CBA官网上查了一下北京金隅队朱彦西的数据，发现他在2013-2014赛季的罚球命中率为70%.则在一次比赛中，

（1）他一次罚球得分的期望是多少？

（2）他2次罚球得分的期望是多少？

猜想：他3次罚球得分的期望是多少？

可以证明：对于独立重复试验X~B（n，p），X的期望E（X）=np.

数学期望还可以用来估计不同运动员的水平高低.

例2 根据历次比赛或训练记录，甲、乙两射手在同样的条件下进行射击，成绩的分布列如下：

?

试比较甲、乙两射手射击水平的高低.

数学期望还可以帮助人们进行决策，在不确定的情况下选择期望较好的方案.

例3 根据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01.设工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案.

方案1：运走设备，此时需花费3800元.

方案2：建一保护围墙，需花费2000元.但围墙无法防止大洪水，当大洪水来临时，设备受损，损失费为60000元.

方案3：不采取措施，希望不发生洪水.此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失10000元.

试比较哪一种方案好，说明理由.

在很多体育赛制中，往往不是一局定胜负，为什么这么设置，用概率的知识能解释吗？

延伸思考：比如我国优秀的女子网球选手李娜和老对手莎拉波娃，统计她们自2010年起的交手记录，发现在17盘正式比赛的对抗中，李娜获胜9盘.以此来估计，如果现在李娜和莎拉波娃打一场练习赛，用一盘决胜负的赛制（假设赢一盘计两分），还是用三盘两胜决胜负的赛制（假设赢一盘计一分）对李娜更有利？

新知应用第二稿如下所示.

例1 同第一稿的例1.

数学期望还可以用来估计不同运动员的水平高低.

例2 同第一稿的例2.

数学期望还可以帮助人们进行决策，在不确定的情况下选择期望较好的方案.

例3 同第一稿的例3.

思考延伸：对于爱心水站来说，由于它的公益性，“取走一瓶水，留下一元钱”，是否交费全靠同学们的自觉.从水站的统计来看，我们发现某段时间取走的水的瓶数与回收的资金并不完全对等，如下表显示：

取走瓶数 62 62 63 63 66 66 66 66 82 82回收资金 55 42.5 64.8 58.5 60.7 60.7 69 62.5 60.5 78取走瓶数 82 83 84 84 86 86 86 102 110 110回收资金 66.1 68 72 61.5 77 73.5 81 102 108.5 116

根据上表，你能否帮爱心水站算一算，每瓶水的进价不超过多少钱，才能保证水站不亏损？

修改原因：观察新知应用第一稿和第二稿的差别，主要体现在思考延伸部分，将第一稿中李娜与莎拉波娃比赛问题的设置，换成了对“爱心水站”问题的再探究，为什么有这样的修改呢？

在第一稿的设计中，由于网球比赛是广受欢迎的体育项目，并且我国女子网球运动员李娜在“大满贯”比赛中的出色表现，赢得了国人的喜爱与支持，选用学生熟知的明星人物，易于引起学生兴趣，并且能进一步体会期望在实际应用中的意义.但此例不尽如人意之处在于，“对于每盘比赛中胜率较大的人，比赛的场次越多，获胜的概率越大”这一问题的探讨，更多地体现在计算两人获胜概率的比较上，如若用期望去衡量，必然需要给每盘赋分，而赋分是否合理，会给学生理解期望带来额外的困难，因此舍弃此例.

而“爱心水站”是学生比较熟悉的身边的例子，虽然引入时截取了部分信息，但是学校设计该水站的初衷是希望借此对学生进行诚信教育，也多次因为回收率低而停止过水站的运营，学生对此有切身的体会.深入挖掘该生活素材，设计连续的问题，不断地把学生对身边生活的思考引向深入，应该比引入另外的素材进行知识应用训练更能够激发学生的兴趣，也有利于发展学生的实践应用能力.这样的设计前后呼应，有效深入.

新知应用第三稿如下所示.

数学期望可以用来估计不同运动员的水平高低.

例1 同第一稿的例2.

试比较甲、乙两射手射击水平的高低.

数学期望还可以帮助人们进行决策，在不确定的情况下选择期望较好的方案.

例2 同第一稿的例3.

思考延伸：对于爱心水站来说，由于它的公益性，“取走一瓶水，留下一元钱”，是否交费全靠同学们的自觉.从水站的统计来看，我们发现每天取走的水的瓶数与回收的资金并不完全对等，水站20天的诚信率（当天实收资金÷应收资金）如下表显示：

统计每天的诚信率89% 69% 103% 93%92% 92% 105% 95%74% 95% 81% 82%86% 73% 90% 85%94% 100% 99% 105%

能否根据这些数据定义一个“诚信指数”，体现同学们取水的诚信度？（把“诚信率的期望”定义为“诚信指数”，算得为90%）

某班今天恰有3人取水，各取一瓶，每人的诚信率均为“诚信指数”，且3人在取水时是否诚信是相互独立的.这个班的诚信得分由班级取水人的诚信状况决定，依照规定，若取水付钱得2分，取水不付钱得-1分.则今天班级诚信得分的期望是多少？

修改原因：从第三稿中可以看到，第一稿和第二稿的例1被删除了.考虑到原稿中的例1主要突出了期望的计算，虽然可以顺势拓展归纳服从二项分布的随机变量的期望计算公式，但是对本节课的教学目标“理解期望的概念和运用期望的概念解决简单的实际问题”来讲意义不大，只是简单机械地重复一下期望的定义，至于为什么要求期望、期望对生活的指导意义又是什么，却不好回答.比如：罚两次球得分的期望是1.4，单纯来计算这个期望有什么意义呢？学生会觉得很困惑.而原稿中例2和例3更能突出期望的意义和价值，这样的训练更能让学生感受到概念的必要性并自觉地应用在生活中，指导实际.

在最后思考延伸的部分，将“爱心水站”的问题设置又做了修改.因为第二稿中，问题的设计关注水站盈亏，用以前的知识，甚至小学的知识也可以解决，引入期望，略显牵强，无法让学生理解新概念数学期望的价值.后来在分析学情时，了解到学生对独立重复试验的概率模型的理解和计算还存在问题，并且基于旧有数据的统计分析用于对未来的预估是概率统计学科的基本思想和基本应用，于是笔者结合诚信教育，设计了第三稿中的思考延伸问题.

在实际课堂教学中，学生对此很感兴趣，且思维呈现多元.学生选择不同的随机变量求分布列，最终殊途同归，在获解的同时又产生了新的问题，把思维引向后续课程，如二项分布的期望是否有规律、有线性关系的两个随机变量其期望是否一定也具有同样的线性关系等.

二、对修改过程的反思

1.学生何以能学会

维果斯基的最近发展区理论，认为学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，一种是学生可能的发展水平.两者之间的差异就是最近发展区.奥苏贝尔的有意义学习理论也指出，有意义学习过程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认知结构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系.由此可以看出，在教学设计时要充分考虑学生已有的认知基础，考虑新知识与已有认知的本质的、内在的联系.

这节课的教学设计从引入到概念生成的过程，充分考虑了学生已有的关于数据平均数的概念，并很好地在已有平均数的概念的基础上引入新的随机变量的数学期望的概念，揭示了新、旧概念之间的内在联系，从课堂教学实施看，也正是因为设计充分尊重了学生的认知规律，课堂教学效果很好.

2.学生怎样才能愿意学

《普通高中数学课程标准》中，特别强调高中数学在数学应用和联系实际方面需要大力加强.高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力.

学生在机械做题应对考试的教学模式中，常常感觉数学无用，于是就没有了学习的兴趣和热情，事实上学生的身边就存在着大量的素材，运用数学的视角观察生活，可以让生活数学化，在数学化的过程中，更精确地感知生活并指导生活.

本课教学设计中，选取学生身边的“向日葵水站”，从学生司空见惯的生活中，提炼数学问题，生成新的数学概念，并连续深入挖掘设计系列问题.从课的引入，到最后的应用提升，展示了观察生活、提出问题、收集数据、分析整理数据、解决问题的全过程，学生能够从学习过程中感受到学习的价值和意义，这样的教学设计充分尊重了学生的心理需求，学生当然愿意学，学得有兴趣.

3.教学设计如何关注学生思维的提升

《2003年普通高中数学课程标准（实验）》中指出：高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一.人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程.

数学教学要重视获取知识和运用知识的思维过程，在此过程中，使学生获得对数学的理解，并在思维能力、情感态度价值观方面获得发展，但是在数学教育实践中常常忽视概念的形成过程、忽视问题的发现过程、忽视规律的揭示过程、忽视思维过程中的非逻辑思维的作用，为了追求“效率”，常出现用教师的思维去代替学生的思维活动，结果导致学生表面上虽然能够按照一定模式去解题，但学生并未真正理解数学概念、定理的内涵.

在本节课的教学设计中，突出了概念的形成过程，概念应用过程的设计，从简单到复杂，从解决他人设置的模拟实际问题，到深入挖掘生活素材，引导学生创造性地设计新的问题并运用知识解决问题的过程，是一个思维逐渐深入的过程，学生的思维能力和应用意识在这个过程中得到提升.

总之，思维的提升是数学课堂教学的价值，提升学生的思维要尊重学生的认知规律，要满足学生的心理需求.教育心理学研究表明，教学从根本上来说是一个师生双方在认知和情感两方面进行交互作用的过程，教学过程就是不断地寻求教学要求与学生已有认知水平之间及教学要求与学生学习意愿之间平衡的过程.

1.中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

2.任全红.数学教学设计视角：关注数学思维过程［J］.教学与管理：理论版（太原），2013（12）.

3.朱先东，潘云超.例谈数学整体性教学设计的策略［J］.中国数学教育，2012（Z3）.

4.人民教育出版社课程教材研究所，中学数学教材实验研究组，编著.普通高中课程标准实验教科书数学B版选修2-3［M］.北京：人民教育出版社，2007.

5.人民教育出版社课程教材研究所，中学数学教材实验研究组，编著.普通高中课程标准实验教科书数学B版选修2-3教师教学用书［M］.北京：人民教育出版社，2007.A