培养转化意识，提高解题能力

●江苏省如皋市第二中学 冒志红

培养转化意识，提高解题能力

●江苏省如皋市第二中学 冒志红

数学问题的解决一直是数学能力优劣检验的标准．从中学数学解题现状来看，学生对于数学问题的解决更多停留在模仿阶段，对于从类似的问题中寻找解决方案更为有心得，这一直是中学数学解题教学长期以来的状态．

笔者就此情况认为主要由下列原因造成：第一，高中数学知识点更多，解决问题的方法（初等数学问题的解法）更多，在理解数学上述知识点和方法的基础上，首先需要巩固和熟练基本知识和基本技能，因此解决陌生问题的比重比较低；第二，中学数学解题教学比较注重模仿和变式，因此对于完全陌生问题的解决往往比较忽视，因此学生对于陌生问题的解决也不够重视；第三，长期以来的教学模式并不注重对学生转化思想的培养和渗透，更多的是重复训练下的操作，这与新课程教学理念更是背道而驰．

哈佛大学华裔教授丘成桐先生说：数学学习更重要的是培养一种问题解决的思路，这种思路给学生以后独立解决问题提供了丰富的经验积累，笔者反对现阶段中学数学不停地训练、解题，学生的数学兴趣早就被磨灭了．笔者认为，上述一席话正是在提点教师，教学更要注重思维的启迪和培养，引导学生提高数学问题的转化意识，提高其数学问题的解决能力才是关键．

一、复杂问题简单化

波利亚在如何解题中说：当数学问题变得复杂、抽象、难懂时，我们不妨换一个角度去思考，将问题想象的简单一些，教师的高明之处在于可以将复杂的问题简单化，而不必一味地强硬解决，这种思维方式就是转化．比如：椭圆中的很多性质与问题证明有些复杂、运算量较大，如何将复杂的问题用简单的方式进行论证求解呢？笔者举个简单的例子．分析：把纵坐标变换为原来的倍，则椭圆变成半径为a的圆，如图1，易知圆中KAP·KBP=-1.由性质得：kAP·（．本性质可以在椭圆中进行证明，但是运算量比通过伸缩变换证明更为复杂一些）

图1

二、抽象问题具体化

高中数学中的很多问题已经成为对思维极度历练的抽象形态，比如说：抽象函数，数列中n项的相关问题分析，空间几何中点、线、面的平行与垂直等．这些问题对于抽象能力较弱的中学生而言，有时解决过程显得较为困难，考虑到抽象问题一般均以客观题或填空题的形式出现，对于问题解决过程并没有严密的逻辑证明要求，因此具体化手段是解决抽象问题的一种有效方式．

问题2：设函数f（x）的定义域关于原点对称，且存在常数a>0，使得f（a）=1，f（x-y）=问：f（x）是周期函数吗？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由．

分析：由于（fx）为抽象函数，故必须寻求感性实例的支撑，由的结构，不难联想到两角差的正切公式域关于原点对称，且存在的一个原型.由于y=tanx为周期函数，且π是它的一个周期，可猜想f（x）为周期函数，且4a是它的一个周期，进而证明f（x+4a）=f（x），得到f（x）为周期函数，它的一个周期为4a．

说明：抽象问题具体化更多是以函数问题为主，对于抽象函数问题，笔者建议初学者更好地以具体函数模型去感知，在达到一定经验和认知后可以更好地理解抽象函数．常见的抽象函数模型需要平时教学中让学生关注.函数模型（fx+y）=（fx）+（fy），正比例函数：（fx）=kx（k≠0）；f（x+y）=f（x）·f（y），指数函数：f（x）=a（xa>0，a≠1）；f（xy）=f（x）+f（y），对 数 函 数 ：f（x）=logax（a>0，a≠1）；（fxy）=（fx）·（fy），幂函数：函数：（fx）=tanx等．

三、高维问题低维化

初中数学致力于一维和二维问题的研究，而高中数学已经渐渐进入了三维问题的初步探索．众所周知，空间几何问题的解决，有时可以借助二维的问题，空间向量的学习可以类比平面向量的知识等．这种思维方式的根本是一种转化，通过类比思维产生的转化，将问题的理解和认识提高到一个更高的层次．

问题3：如图2所示，点O∈平面A′B′C′,平面A′B′C′∥平面ABC，点Q在三棱锥OABC内部运动（不含边界），记，则x的取值范围是多少？若x=1，则y+z的2取值范围是多少？

图2

分析：要解决空间向量的三维问题，我们可以首先探求二维平面向量中类似问题的解决．利用低维问题去转化高维问题的解决，这是培养转化意识的又一种方式．首先来看一个二维平面向量的引例.

引例：如图3，OM//AB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内（不含边界）运动，则x的取值范围是_________；当x=-1时，y的取值2范围是_________．

图3

分析：由平面向量基本定理可知：若e1、e2是同一平面内不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使得a=λ1e1+λ2e2，我们把不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.当O、A、B是不共线的三点时，对平面上任一点P，有则P在直线AB上的充要条件是x+y=1．由上述知识，可以将二维引例以斜坐标系的方式给予回答和解决，以x、y作为有序点对（x，y），以OA→x轴，

OB→y轴，如图4所示建立斜坐标系，类比直角坐标系下的性质，可以得到如下延伸：（1）过点O且平行于AB的直线，其斜角坐标系下方程为：x+y=0；（2）以OA→x轴、OB→y轴建立的斜坐标系也分为四个象限，类比直角坐标系下线性规划知识可得P点所在位置位于斜角坐标系2-2

图4

解决：通过低维问题的解决和理解，类比转化高维问题，不妨以OA→x轴，OB→y轴，OC→z轴，建立空间斜坐标系，Q点所在区域满足线性约束条件：圯x> 0 ，y>0，z>0，因此，若点Q在三棱锥OABC内部运动（不0

四、陌生问题熟悉化

数学新题对于学生来说往往较为困难，因为学生对于数学问题本质的认识不可能像教师一般，对于陌生问题的处理，学生更容易手足无措．教师对于此种问题的转化，主要意图是引导学生转化这种陌生的问题情境，即通过思考实现一定的模式识别．从教育心理学研究的角度，巴布罗夫早已给出模式识别对于教学的积极意义，其认为学习者总是将熟悉的知识分门别类地储存于头脑中，在遇到陌生问题时，学习者首先搜索记忆库中的知识存储，通过判断识别问题所属的类型，进而转化为熟悉情境．

问题4：如图5，已知抛物线C的顶点为A，问：C所在的平面内是否存在定点M，使过M的动直线l与C交于P、Q，且∠PAQ恒为直角？

分析：本题中判断“∠PAQ恒为直角”较为陌生，鉴于“PQ过定点M”与“∠PAQ为直角”都是约束条件，故不妨调整其顺序，将原题转化为过顶点A作抛物线的两条弦AP、AQ，使∠PAQ为直角，问动直线PQ是否过定点.现在变成了大家熟悉的内容了，解答起来是不是很轻松呢？

图5

将④代入③，得2px-4p2-（y1+y2）y=0，即2p（x-2p）-（y1+y2）（y-0）=0．

由于2p、y1+y2均为实数，故直线PQ过定点M（2p，0）．所以符合条件的直线存在．

说明：解析几何中有较多的问题条件对于学生而言是非常陌生的，学生往往对于这样的条件无法进行合理的、简洁的转化，如：以AB为直径的圆过O点（数量积|AB|=|AC|（BC的中点D即为垂足）等，这些条件是如何转换成熟悉的数学式的呢？本例给出了一种转化的方式，这类转化需要学生不断地积累和巩固，进而提高问题解决的能力．

总之，从数学问题的解决来看，都是一种形态向另一种形态的转化，即数学知识中讲述的充要条件．将数学表述的复杂形式简化为一种简洁的结论，正是转化的魅力所在．转化与化归思想正是基于此提炼的数学思想方法，笔者将文中所描述的四种情形进行了一定的总结，限于才疏学浅，还有其他转化的方式未能作出合理的归纳，请读者指正补充．

1.赵第妹.数学高考难题破解与知识超常联系［J］.中国数学教育，2012（8）.

2.金凤明.庖丁解牛与数学解题［J］.上海中学数学，2013（4）.A