问题为主线的互动生成教学模式探索*——以极坐标教学为例

●安徽省金寨第一中学 徐道奎

问题为主线的互动生成教学模式探索*
——以极坐标教学为例

●安徽省金寨第一中学 徐道奎

怎样提升学生对知识的理解水平？怎样让学生尽快形成能力？毋庸置疑，师生双向互动，动态生成知识，调动学生的参与意识是关键.而互动教学又必须以问题解决为基础，以问题引领为主线，因此，教师要善于构建以问题贯穿始终的课堂教学模式，引导学生发现问题、提出问题、分析问题、思考问题、解决问题.现以极坐标教学为例，谈谈互动生成教学模式对学生能力形成的作用，敬请同行指教.

一、极坐标的教学现状分析

极坐标一般安排在解析几何学习之后，由于极坐标属于高中数学的选修、高考中的选考内容，一方面，教师在教学时主观重视程度不够，不愿意在概念引入、教学设计、方法选择、知识引申等环节花费过多的精力.另一方面，教学时间短，教师急于完成教学任务，一开始就将学生置于被动的学习地位，学生自身主动参与意识弱化，造成学生在学习之后感到理解困难.但高考对这一部分的要求不高，教师只要教会学生掌握两种坐标系的互化，能解高考题就行了.这样至少存在两个弊端：一是学生不能掌握极坐标蕴含的数学思想和方法，不能领会用坐标表示点这一解析几何基础的意义，更不能通过极坐标进一步理解直角坐标的深刻思想内涵；二是完全将极坐标转化成直角坐标的方法会给今后的学习（如升入大学学习微积分）带来困难.

实事求是地讲，极坐标虽然是选修内容，但学习起来并不困难，只要注重学生在学习过程中的参与，注重知识的内在联系，注重对极坐标几何意义的理解和应用意识的渗透，特别是用极坐标解决了直角坐标难以解决的问题，学生的兴趣还是非常高的，学习效果也很明显.笔者通过双向动态生成的教学模式组织教学，收到良好的效果.

二、问题引领、互动生成的教学模式全景

互动生成的课堂教学要求在课堂教学中找到教与学的结合点，找到知识生成的关节点，通过教师引导，学生自主探索，师生共同探讨方法和规律，掌握知识，形成能力.因此，教师首先要理清总体教学思路，规划好教学全景图.

问题是课堂教学中连结师生的桥梁和纽带，没有问题的引领，教学就缺乏生机，缺乏灵性.因此，在极坐标教学中，无论是引入、定义、解读、拓展还是应用，问题始终是教学的前奏.

1.问题中互动、质疑、释疑，进入概念生成场景

问题的设计意图及引领方向：我们已经学习了直角坐标系，为什么还要学习极坐标系？怎样建立极坐标系？

铺垫的问题：点的位置怎样用数表示？

（学生思考，不要求回答，目的是提醒学生要有以数示点的意识）

（1）直线上点的位置怎样用数表示？需要几个数？

（2）平面上点的位置怎样用数表示？需要几个数？

引入的问题：怎样表示点的位置更好？下例中你可以通过哪些方法表示点的位置？

多媒体背景展现：蓝蓝的天空，深蓝色的海洋，一红白相间小艇在洋面上出现故障，怎样向码头救援人员报告小艇的位置更清楚？

教师：（背景抽象成的数学问题）如图1，在一东西走向的海岸线上有一个码头O，小船位于该码头的东偏北60°方向且距离码头20海里的A处，怎样用数表示该船的位置？

图1

学生：以码头为坐标原点，海岸线为x轴，向东方向为x轴正方向建立直角坐标系，则此船的坐标为

教师：这种建立直角坐标系的办法能准确地表示小船的位置，但相当麻烦，能否用更简洁的办法把小船的位置准确地描述出来呢？（启发学生思考）

学生：海岸线与OA所成的角及OA的长度能准确地反映A点位置.

设计问题的目的是为了解决问题，当我们发现用距离和角更容易表示点的位置时，就要想办法把这种方法总结抽象出来，形成一般的结论.

教师：上述问题中同学们用一个角和一个距离可以准确地表示小船的位置，如何把它抽象成一般性的问题？该怎样建立坐标系呢？坐标是什么？

引导学生探讨得出结论.

学生：只要一条射线Ox即可，表示点的位置需要一个长度，一个角度.

多媒体动态演示：大屏幕上，建立极坐标系后，点在不同的位置上定格，动态演示表示该点位置的两个量ρ，θ.

师生探讨：这就是极坐标系，OA的长度为ρ（高中引入极坐标时先把ρ当长度），Ox与OA所成的角为θ，坐标为（ρ，θ）的形式.

教师：怎样规定ρ，θ的意义？怎样体现用数描述位置的数学思想？（教师强调用“数”表示点，回应开始时学生思考的问题）

学生：θ为极轴与极径所成的角，用弧度制表示（弧度制将角与数统一起来）；ρ表示平面上点到极点的距离，即极径长度.与直角坐标一样，也是用两个数表示平面上点的位置.

2.问题中互动、解读、引申，建立知识联系体系

问题的设计意图及引领方向：极坐标与平面上点是怎样对应的？直角坐标与极坐标怎样互化？

（1）极坐标系建立后，要着手研究极坐标与点的位置的对应关系，即由坐标找点，由点找坐标，同样要从问题入手.

另外，教材中没有明确地处理坐标与点的关系，为了简便，开始规定了ρ≥0，在直线的极坐标方程里又出现ρ∈R，怎么解决这个前后不一的问题呢，笔者是通过引导学生探索极坐标系中点与极坐标的对应关系解决的.

教师：极角θ的范围是什么？

学生：（－∞，+∞）.

教师：如果极角θ的范围是（－∞，+∞），那么极坐标系中，点与极坐标是一一对应的关系吗？

学生：（先思考，后演示）一个极坐标只对应一个点，而一个点有无数个极坐标.

多媒体动态演示：一个点对应的角θ有无数个.

教师：那么从极角的角度，应如何规定其范围，才能使点与极坐标一一对应呢？

学生：（讨论后得出结论）可以规定极角的范围，如［0，2π）或［－π，π）等.

多媒体动态演示：规定了极角范围后，一个点对应一个角.

教师：在建立极坐标系时，我们把ρ看作距离，因此ρ≥0.但有时也不方便.如图2，直线过极点O，该直线在极轴Ox之上部分的点，而在极轴Ox之下部分的点θ=能否将它们统一呢？如统一为

图2

学生：如果规定ρ∈R，该直线在极轴Ox之下部分的点应该是

师生互动，教师总结：高中教材里，一般规定ρ≥0，实际上，ρ<0也有一定的含义，如极坐标为∈的点表示极角为的反向延长线上距离极点为2的点.

教师：如果ρ∈R，那么同一个点（不是极点），有几个ρ？

学生：两个，一个ρ>0（θ=θ1），一个ρ<0（θ=π+θ1）.

多媒体动态演示：点P的坐标可以是（ρ，θ1），也可以是（－ρ，π+θ1）.

教师：极点坐标该是什么呢？学生：（0，0）.

教师：极点处ρ=0是很容易理解的，但θ=0合理吗？

多媒体展示：如图3，直线l1、l2、l3均过极点，即极点O同时在三条直线上.

图3

师生互动：三条直线上的点分别与它们公共点（极点）极坐标有何矛盾？

学生：第一条直线上的点满足θ=θ1（ρ∈R），第二条直线上的点满足θ=θ2（ρ∈R），第三条直线上的点满足θ=θ3（ρ∈R）.

教师：如果规定极点坐标是（0，0）能够统一吗？

学生：不能统一，应规定极点处的θ∈R.

教师：鉴于以上分析，极坐标系中，在什么条件下，点和极坐标是一一对应？请你给出能够一一对应的一种情况.

学生：若规定ρ>0，θ∈［0，2π），除极点外极坐标系中的点和极坐标是一一对应的.

通过师生共同对问题的探讨，解决了教材中回避的难点问题，使学生升华了对知识的理解，能力得到提升.

（2）极坐标的概念形成后，怎样解决极坐标和直角坐标的相互转化问题，互化的条件是什么？通过问题引导学生探索.

教师：平面上的同一点，在不同的坐标系下其坐标一般不同，怎样相互转化？

引导学生先对互化的条件进行分析.（学生先思考，然后多媒体动态演示）

教师：两个坐标系具有怎样的对应关系才能使互化简单？

学生：极点与原点重合，极轴与x轴非负半轴重合，单位长度一样.

学生回答后，多媒体动态演示.

3.问题中互动、应用、升华，形成知识应用能力

问题的设计意图及引领方向：怎样求极坐标方程？极坐标系在解决问题中有什么优越性和独到之处？

（1）极坐标方程的直接求法.

这是教学中的难点，不少教师采用先求直角坐标方程，再将其转化为极坐标方程的方法，但从培养学生思维、能力和对极坐标的理解角度上看，应该加强极坐标方程的直接求法的教学.因此，此时设计引导探索的问题意图是要学生知道求极坐标方程求什么，怎么求？

教师：求曲线方程实质上是求什么？你是怎样思考的？

学生：求曲线方程即求曲线上任意一点的坐标关系，在直角坐标系中，求的是曲线上任意一点P（x，y）的坐标x，y的关系，而在极坐标系中，求的是曲线上任意一点P（ρ，θ）的坐标ρ，θ的关系.

教师：怎样找曲线上点P（ρ，θ）的坐标ρ，θ的关系？

以实际例题分析：

例1 在极坐标系中，根据下列条件，分别求直线的极坐标方程：

②直线经过极轴上点A（2，0）且与极轴垂直，如图5；

图4

图5

图6

图7

③直线经过极轴上点A（2，0）且直线向上方向与Ox轴所成的角为，如图6；

例2 在极坐标系中，根据下列条件，分别求圆的极坐标方程：

①圆心为极点，半径为1，如图8；

②圆心为极轴上点A（2，0），半径为1，如图9；

引导学生找曲线上点P（ρ，θ）的坐标与ρ，θ之间的关系，以例1第③问和例2第③问为例分析，其余让学生课下自己解答.教师：（引导学生分析）曲线上ρ，θ的关系隐含在什么地方？

图8

图9

多媒体动态演示图6、图10.

学生：除特殊位置，ρ，θ可转化为三角形的边和角，所以ρ，θ隐含为三角形的边、角.

教师：怎样把边角关系显现出来（特殊位置时ρ，θ的关系可以最后检验）？

学生：正弦定理、余弦定理、直角三角形边角关系.引导学生运用三角形边角关系（正、余弦定理），求出曲线上任意一点P（ρ，θ）的坐标ρ，θ之间的关系.

图10

（2）极坐标方程的应用.

解析几何中，很多涉及长度、角度的问题用极坐标方程求解要简单的多，解这样的问题关键是要充分理解极坐标中ρ，θ的几何意义.此时设计问题引导学生探索的目的在于：一是让学生发现有时用直角坐标方程处理问题难，用极坐标方程反而容易；二是什么时候用极坐标及方程；三是怎样用极坐标及方程.

例3（教材习题）已知椭圆中心为O，长轴、短轴的长分别为2a，2b（a>b>0），A、B分别为椭圆上两个动点，且满足OA⊥OB.

②求△AOB面积的最大值和最小值.

教师：只分析第①问（第②问同理分析），如何运用直角坐标方程解决该问题？

学生：设动点A、B的坐标为（x1，y1）、（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+m（斜率不存在单独考虑），将先变为坐标，再代换成系数，最终得到定值.

教师：（启发学生）用直角坐标系的方法解答相当麻烦，本例中涉及了原点到动点的距离，相当于动点在极坐标系中的坐标ρ，能否尝试一下用极坐标方程求解.

教师：通过本题的解答，你有什么发现？

学生：当题目出现了动点到原点（极点）的距离时，用极坐标方程往往更容易解决问题，如题中的|OA|、|OB|.

综上，以问题为主线，师生互动生成知识，互动理解知识，互动应用知识，教学过程自然流畅，学生在一个个问题的解决过程中将知识融会贯通，形成了能力.

三、互动生成的教学模式中的问题设计

1.问题的类型和设计意图

动态生成的教学模式对学生能力发展的作用显而易见，它唤醒了学生思维的主动意识.如前所述，动态生成的教学模式要以问题为先导，怎样设计问题呢？问题设计时，哪些用于铺垫，哪些用于突破，哪些用于比较，哪些用于产生矛盾解开纠结等均要事先构思.如一开始引入极坐标设计的问题，是为了让学生发现用数表示点的位置的方法不是唯一的，有更简洁的方法；关于极点的坐标的规定，设计了三条不同的直线通过极点，如果规定极点坐标为O（0，0），就与直线上的其他点坐标不一致，与后面学习的直线的极坐标方程不吻合，造成麻烦，此时设计问题的意图在于暴露矛盾；在极坐标方程的应用时，设计问题的目的是引起学生注意：我们习惯了直角坐标系的方法解决问题，为什么需要用极坐标方程的方法解决？什么时候能想到用极坐标方程的方法？

设计的问题要直指目标，具有导向性，富有启发性，互动教学的问题设计更不能以追求课堂的外在效果，表面上的轰轰烈烈为目的，要注重问题的实质作用，能真正引发、启迪学生思考.

2.问题的内在联系和顺序结构

数学思维的核心是逻辑思维，教师提出的问题也要具有逻辑性，要层层递进，体现出知识的内在联系，设计的问题既要反映知识生成背景，又要符合学生的认知规律和知识的形成规律，不能不着边际.有些问题可以以“问题链”的形式给出，使问题之间具有一定的过渡性，有梯度，体现出解决问题的思路和顺序结构.

3.问题的“度”与“时”

对引领学生思考问题的“度”的把握至关重要.问题过于琐碎，过于细致，学生自主思考的空间太小，学生成了教师手中操作的“木偶人”，达不到促进学生思考的目的，设计“问题链”不是一味地将问题细化；反之，问题过于笼统和大而化之，学生思考时无从下手，也起不到促进思维的作用，因此，要针对学生的认知水平设计问题，注意“度”的把握.把握好问题的“度”（难度、梯度），才能使学生“悟性”生成.提出问题的时机很重要，要在知识的生成点、突破障碍的关节点、形成能力的关键点上设计引领学生思考的问题.

四、培养学生主动提出问题的能力和自主探索的意识

知识和能力的形成有一个过程，不可速成，要让学生有消化的时间，教师教学时有时要故意放慢节奏；要留给学生充足的探索时间，不能操之过急，越俎代庖，特别是需要引起学生注意的地方，不妨让学生出出错、走走弯路，让他“做不出来”，“不经一番风霜苦，哪得寒梅吐清香”，讲的就是这个道理.

知识互动生成模式的教学中，问题是知识形成的核心，但问题不能仅靠教师设计和提出，要有意识地引导学生自主地提出问题和发现问题，培养学生的问题意识.在知识形成的关节点上，把如何思考，下一步努力的方向是什么，如何突破瓶颈等问题交给学生.例如，在引导学生求极坐标方程时，有的学生提出：

学生1：直接求极坐标方程时一定要用三角形边角关系找ρ，θ之间的关系吗？

学生2：椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程可以直接求出吗？

这时老师发现引导学生探索的时机到了，可以把问题交给学生自己，把“皮球”再踢回去.

教师：（回答第一个问题）有其他直接求极坐标方程的方法吗？提示学生把例1、例2解答出来（可以直接观察出ρ，θ的关系）.

教师：（启发式引导）求椭圆、双曲线、抛物线的极坐标方程关键是什么？

学生1：先要建立极坐标系.

学生2：怎样找ρ，θ的关系？

教师：请同学们以椭圆为例，用直接法求出其极坐标方程.

学生：（探讨）用第一定义难以将ρ，θ转化成三角形边角关系.

教师：椭圆第二定义中涉及动点到定点的距离，对你有何启发？

学生探索：以左焦点为极点，极轴与定直线垂直，建立极坐标系，用椭圆第二定义得出极坐标方程.同理可以求出双曲线、抛物线的极坐标方程（极点与椭圆的不同），它与以上所求的椭圆方程形式是相同的.

五、结束语

课堂教学要重视知识的互动生成，教师要善于通过问题引导学生，启迪学生，使学生在一个个问题的不断解决中学习知识、形成能力、提升素养.

1.党宇飞.提高数学教学情境实效性的基本原则和方法［J］.中学数学（上），2015（9）.

2.沈敏培.培养学生探究性学习的教学设计探索［J］.中学数学（上），2015（8）.

3.钱卫江.问题引领：追求自然生成的概念教学［J］.中学数学（上），2015（2）.

4.徐道奎.从圆锥曲线教学的教学提问看课堂提问的方式与时机把握［J］.数学通报，2015（8）.

*本文系安徽省省级课题“高中数学课堂教学双向动态生成模式研究”（项目编号JG14239）的研究成果.