追溯本源 挖掘本质——一道课本习题的拓展、推广及应用

●江苏省沭阳如东中学 洪 兵

追溯本源 挖掘本质
——一道课本习题的拓展、推广及应用

●江苏省沭阳如东中学 洪 兵

一、问题的呈现

苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修1-1）》习题2.3有这样的一道习题（第7题）：在△ABC中，B（-6，0），C（6，0），直线AB、AC的斜率乘积为，求顶点A的轨迹．

这道习题的设计，从本节内容上看，实际上承担了三个教学目标：一是考查学生对椭圆标准方程的理解程度，二是考查学生求轨迹方程的方法——直接法，三是考查学生对曲线与方程的完备性的理解——去除不合题意的点B、C.这道习题看似平凡，但是如果对该题进行拓展推广，就会得到一些有关圆锥曲线的结论，而这些结论能够揭示近几年高考解析几何题的命题背景．

二、变式拓展

将上述习题进行一般化，便得到拓展1．

拓展1：平面内与两定点A（-a，0），B（a，0）（a>0）连线的斜率之积等于非零常数m的动点P的轨迹是曲线C．当m<-1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆（去掉A、B两点）；当m=-1时，曲线C是圆心在原点的圆（去掉A、B两点）；当-10时，曲线C是焦点在x轴上的双曲线（去掉A、B两点）．

证明：设动点P的坐标为（x，y），当x≠±a时，得kPA·

当m=-1时，曲线C的方程为x2+y2=a2，C是圆心在原点的圆（去掉A、B两点）；

由上述结论可知，平面内到两定点的斜率之积是定值m（m<0，m≠-1）的动点轨迹是椭圆（去掉两个定点）．那么椭圆上任意一点与椭圆左右两个顶点的连线的斜率之积是否为定值？经过探究，得到拓展2．

如果把拓展2进一步延伸，把A（-a，0），B（a，0）改为椭圆上关于原点对称的两个点，便可以得到拓展3．3已知椭圆，过原点的一条直线交椭

拓展：圆于A、B两点，点P是椭圆上异于A、B两点的任意一点，则直线AB与AC的斜率之积证明方法与拓展2类似，此处略，读者自证

同样，对拓展3进行逆向探究，便得到拓展4．

拓展 ：一点，过点P作直线AP、BP，交椭圆于A、B两点，PA与PB的斜率之积kPA·kPB=n（n为定值）.

证明：以P为坐标原点建立新直角坐标系x′O′y′，且新直角坐标系的O′x′轴、O′y′轴与原坐标系的Ox轴、Oy轴方向相同，则椭圆方程在新坐标系下的方程整理得a2y′2+b2x′2+2b2x0x′+2a2y0y′=0． ①

又直线AB不经过O′，设直线AB在新坐标系中的方程为sx′+ty′=1，代入①得a2y′2+b2x′2+（2b2x0x′+2a2y0y′）（sx′+ty′）=0，整理得 （a2+2a2y0t）y′2+（b2+2b2x0s）x′2+（2b2x0s+2a2y0t）x′y′=0，此方程两端同除以x′2，得（a2+2a2y0t）=0.此方程中是关于的一个一元二次方程，方程的两个根可以看作直线PA、PB在新坐标系下的斜率，而在新坐标系和原坐标系下直线的斜率不变，由根与系数的关系，得=n，整理得2b2x0s-2a2y0nt=na2-b2．

由此可以看出，把这道题放在本节之后，其针对性非常强，能够很好地实现本节课的教学目标——理解椭圆标准方程的结构特征.而且这种两条动直线斜率乘积成定值的条件可以构造诸如双曲线和圆的轨迹，它能很好地形成一个思维链条把解析几何中最重要的曲线有机地联系起来，使得椭圆与双曲线浑然一体，将双曲线与椭圆的内在联系揭示得淋漓尽致.作为教材的使用者，如果能够用心揣摩认真研究数学本体，领会编者的意图从而提高自己的数学素养，要在数学教学中不断地尝试，不断地反思，不断地总结，不断地磨练自己心智的过程！

三、链接高考

例1（2011年高考数学湖北卷理科第20题）平面内与两定点A1（-a，0），A2（a，0）（a>0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线．

（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；

（2）略．

例2（2009年高考数学福建卷理科第19题）如图1，已知A、B分别为曲线C（y≥0，a>0）与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连接AS交曲线C于点T．

（1）略；

（2）如图1，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

解析：（2）由拓展2易证，此处略．

例3（2010年高考数学

图1

图2

（1）、（3）略.

（2）设直线l1：y=k1x+p交椭圆Γ于C、D两点，交直线l2：y=k2x于点E．若证明：E为CD的中点.

解析：（2）在图2中，连接CO交椭圆于点F，因为CF过原点，D是椭圆上的点，由拓展3可知即DF平行于OE.又因为O是CF的中点，故E是CD的中点．

例4（2011年高考数学江苏卷第18题）如图3，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．

图3

（1）、（2）略；

（3）对任意k>0，求证：PA⊥PB．

例5（2010年高考数学江苏卷第18题）如图3，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与此椭圆分别交于点M（x1，y1），N（x2，y2），其中m>0，y1>0，y2<0．

图4

（1）、（2）略；

（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

解析：（3）连接BM，设AM，BN，BM的斜率为kAM，kBN，kBM，由题意可知，A（-3，0），B（3，0），故由拓展5可知，MN必过x轴上的定点（1，0）．

四、几点反思

1.源于课本，对教材实施“再开发”

课本是重要知识点的精华与浓缩，往往言简意赅，或是限于篇幅，有些过程未详细说明导致学生常常产生思维障碍.这是教师必定要充当教材与学生之间的协调者，对教材所呈现的思维链接进行“再开发”.对教材实施“再开发”中，通过暴露教师或教材编写者的思维过程，对跳跃性的内容进行“加密”、拓展、补充和完善，才能使教材变得丰满和易于接受，真正从“教教材”到“用教材教”.

2.变式、引申、推广是促进理解、研究问题的常用手段

数学的魅力就在于“变化”，在变化中求得重复，在重复中获取变化.有“变”才能“活”，设计恰当的“变式”，能避免让学生反复地练习同一题型，避免学生在低水平层次之间反复的重复，引导学生多角度、全方位地理解知识，从而使学生的知识结构得到优化，思维能力得到拓宽和加强.因此，我们要认真钻研教材，吃透教材的精神和实质，把握好教学的重难点，挖掘教材编写者的“言外之意”，弹奏出教材文本的“弦外之音”，通过对问题进行变式、引申、推广，把“露出海面的冰山一角”的其余部分挖掘出来.

3.教师要加强自身的修养

张奠宙、赵小平教授指出：数学教师还是要清醒一些，继续保持自己的“一桶水”，而不是“一碗水”.新课程标准实施以来，教师的地位从知识的传输者变成了学生学习的“组织者、参与者、引导者”，与学生的关系是平等的，唯一的优势是“首席”而已.一堂课的时间是有限的！又怎能面对学生提出的各种问题？又怎能提高学生的各种能力？因此，教师不仅要有“一桶水”，还要立足课本，对教材实施“再开发”，研究教育规律，掌握先进的教育理念，学习，学习，再学习；研究，研究，再研究.才能继续保持自己的“一桶水”，也才能把自己的“一桶水”变成学生的“一碗水”.