HPM视角下的一元二次方程求根公式教学设计

●四川师范大学 刘 铭 张 红

HPM视角下的一元二次方程求根公式教学设计

●四川师范大学 刘 铭 张 红

一、背景

HPM源于第二届国际数学教育大会上成立的一个工作组的简称，其全名为International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics.［1］顾名思义，该小组专门研究的正是数学史与数学教育之间的关系，至此，数学史与数学教育之间的关系作为一个新的研究领域诞生，并且我们通常把HPM作为这个数学教育研究领域的名称．

一元二次方程的求根公式起着承上启下的作用，是后期学习分式方程和二次函数的基础．并且“降次”作为公式推导的核心思想，有效习得这种思想方法对高中阶段三角函数部分的学习及解题都是很有帮助的．

二、一元二次方程求根的历史

显而易见，在方程的发展史上，一元二次方程求根公式的出现是一个重要节点．

早在公元前1894-前1595年的古巴比伦时期，就出现了一元二次方程的求根公式．在当时，一类常见的题目是“两数之积是a，两数之和（或差）是b，求两数．”［2］用现今的符号可表示为一元二次方程：x2-bx+a=0，解方程

古希腊欧几里得的《几何原本》（约公元前300年前后）与丢番图的《算术》（约第三世纪）中对公式①也有所记载.［2］

此后，一元二次方程求根公式的发展主要在中国、印度和中亚等国完成.［3］

中国古代，数学家赵爽在其《周髀算经》注文的《勾股圆方图注》一文中，用几何方法找到了形如x2-bx+c=0的方程的求根公式，用现今的符号表示为：

我国最早的数学专著《九章算术》（公元一世纪）中，对于解一元二次方程也有所提及．此后，约公元五世纪张丘建所著的《张丘建算经》，八世纪的天文学家僧一行，十三世纪杨辉所著的《田亩比类乘除捷法》等，都对一元二次方程的解法继续做着研究．虽然我国在一元二次方程求根公式的研究上取得了不小的成就，却始终没有给出一元二次方程的标准求根公式．

在印度和中亚，阿耶波多、婆罗摩笈多、斯里特哈勒等古印度数学家，先后得到形如方程ax2+bx=c（a≠0）的求根公

十二世纪数学家巴斯卡拉用配方法导出了此公式．但是，最终一元二次方程的标准求根公式是由阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中给出．花拉子米将所有的一元二次方程归纳为一类，即ax2+bx+c=0，由于已知方程ax2+bx=c的求根公式为，对方程ax2+bx+c=0的等号两边同除以a，仿上即得标准求根公式

纵观一元二次方程求根公式的历史，我们不难发现，数学家们都是以首项系数为1的一元二次方程作为起点，再逐渐开始研究系数不为1的情况．由于学生对数学知识的认知过程和历史上该知识的发展过程存在一定的相似性，［4］即历史相似性原理，以一元二次方程求根公式的这一发展过程作为学生学习这部分知识的线索，将会更加符合他们的认知规律．

三、将数学史融入数学教学的方法

怎样将数学史融入数学教学，许多学者都提出了自己的看法．

英国数学史家John Fauvel给出了10种数学史的具体用法.［5］而后，Tzanakis C和Arcavi A又将这10种方法归纳为3种.［6］2009年，Jankvist UT在其论文中又提出了另外的3种方式.［7］综合上述几位研究者的方法，华东师范大学的汪晓勤教授对其进行了整合与改进，整理出了数学教学中运用数学史的方法，见表1．

表1 数学教育中运用数学史的方法［4］

本文就将灵活运用这4种方法做出教学设计．

四、教学设计

1.课程结构

课程结构略图如图1所示.

图1

2.问题引入

在这之前，学生仅有配方法的相关知识，解此方程会非常吃力，此时教师可顺势提问：那么有没有一个一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的一般表达式，来帮助我们更加方便快捷地解决这类问题呢？从而引导学生去探索一元二次方程的求根公式．

设计意图：教材对于为什么要找到一元二次方程的求根公式一笔带过，并且直接运用配方法得出求根公式显得相当突兀．本设计用一个相对复杂的一元二次方程引入，学生要使用上节课所学的配方法解题难度较大，从而达到让其认知失衡的目的，也能深刻地体会到求根公式的重要性．

3.系数化1，公式初探

设计意图：弗赖登塔尔曾认为，在数学的学习中，“从某种意义上说，儿童应该重蹈历史，尽管不是实际发生的历史，而是倘若我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史．”［8］因此，本设计采用重构式，借鉴一元二次方程求根公式的历史，即先探索a=1的情况，再研究一般情况，同时结合学生已有的配方法的知识重构了儿童应该重蹈的历史——倘若我们的祖先已经知道我们今天有幸知道的东西，将会发生的历史．

4.不化为1，探究妙法

如果不把二次项系数化为1，还能用配方法处理吗？伟大的印度数学家婆什迦罗也遇到过这样的问题，他的想法是：我们可不可以在方程两边乘以什么数呢？

学生在思考过程中教师巡视，选择采用以下两种方法的学生上台展示．（如未有学生使用，则由教师展示）

教师可在解法2后补充说明，该方法与12世纪印度著名数学家巴斯卡拉的思想不谋而合，其优势在于避免了计算过程中出现分数，降低计算难度，但也不容易想到．

设计意图：引导学生探索出更多的求根公式的推导方法，锻炼和拓展了学生的思维.采用顺应式，根据婆什迦罗在其著作《丽罗娃蒂》中表达的解一元二次方程的思想：在一元二次方程两边乘以某数，再在两边加上某数，使得方程一边为完全平方，另一边为常数，从而开方得方程的根，［9］编制问题串，引导学生思考新方法．

5.几何证法

我国数学家赵爽在其《周髀算经》注文的《勾股圆方图注》一文中提到：“其倍弦（2c）为广袤合（x1+x2），而令勾股见者自乘（x1x2=a2或x1x2=b2）为实，四实以减之（（2c）2-4a2）开其余，所得为差．以差减合，半其余为广”［.3］

根据赵爽的描述，我们能画出这样两个图形，如图2、图3所示.

图2

图3

设计意图：根据历史发生原理，即学生对数学概念的认知过程与概念的历史发展过程具有相似性，［4］在一元二次方程求根公式的历史中，有不少数学家选择了几何法，虽然笔者认为这与当时还没有负数与复数的概念不无联系，但是也不可否定从历史上看，几何法是较为符合学生的认知规律的．于是笔者根据初中学生已有的基础，重构了我国数学家赵爽的一个一元二次方程的几何解法，但是笔者给出的这个例子有一定的难度，要让所有学生掌握还谈不上，只是重在欣赏与感受代数与几何之间的联系，同时训练学生的思维与理解能力．

6.课堂练习

利用求根公式解方程②．

设计意图：课堂练习题的作用，是为了让学生体会学有所用．

五、结束语

在初中数学教学中，教师采用HPM视角下的教学，其目标不应该只是教师的教，而更应该是学生的学，即让学生深入理解某一知识后，能够以该知识为核心，甚至借鉴该知识的习得过程来自主学习新的数学知识．笔者在参考课程标准后，利用相关数学史资料，完成此教学设计，力求通过这个过程，让学生能深刻理解一元二次方程求根公式的推导方法，从而真正达到提高他们探索与学习能力的目标．

1.汪晓勤.HPM的历史渊源 ［J］．数学教育学报，2003（3）．

2.张红．数学简史［M］．北京：科学出版社，2007．

3.李迪．二次方程求根公式的历史［J］．数学通报，1962（9）．

4.赵瑶瑶，张小明．关于历史相似性理论的讨论［J］．数学教育学报，2008（4）．

5.汪晓勤．HPM与初中数学教师的专业发展——一个上海的案例［J］．数学教育学报，2013（1）．

6.Tzanakis C，Arcavi A．Integrating History of Mathematics in the Classroom：An Analytic Aurvey ［A］．In： Fauvel J， van Maanen J．History in Mathematics Education ［C］．Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，2000．

7.Jankvist U T．A Categorization of the “Whys” and“Hows”of Using History in Mathematics Education ［J］．Educational Studies in Mathematics，2009（3）．

8.Freudenthal H．Major Problems of Mathematics Education［J］．Educational Studies in Mathematics，1981（2）．

9.D.E.Smith．History of Mathematics（Vol.Ⅱ）［J］.Boston：Ginn&Company，1923．

10.汪晓勤，王苗，邹佳晨．HPM视角下的数学教学设计：以椭圆为例［J］．数学教育学报，2011（5）．