高三“二项式定理”复习课的教学过程的实施、调控与反思

●江苏省常熟中学 朱 峰

高三“二项式定理”复习课的教学过程的实施、调控与反思

●江苏省常熟中学 朱 峰

“二项式定理”是高中数学的一个重要内容，题型主要围绕二项展开式及其通项，看似题型固定、难度不大，但由于江苏高考将其列为附加题可考内容之一，故对学生的综合应用能力提出了更高的要求，作为教师，在教学活动中更应注重学生这方面能力的培养.本文结合具体教学实例，阐述笔者对高三“二项式定理”复习课的一些做法和感悟.

一、课前导学——自行梳理知识

“知识梳理”是高三复习课必经的开场戏.“梳理”就是要通过对知识的整理，沟通知识间的联系，构建知识的网络.而对“二项式定理”、“二项展开式形式上的特点”、“二项式系数的性质”等知识的梳理，不仅仅是对知识的简单回顾，更是对旧知识的总结、提炼和升华，形成完整的知识体系.对这些知识的梳理过程，也是进一步加深对认识、理解和掌握的过程，是总结、反思、巩固、提高的过程.在整理“二项式系数的性质”时，我们应举例并强调“二项式系数”与“项的系数”的区别，正是由于这个区别带来了本节课的一个难点.

二、化解难点——研究性学习

“二项式系数”与“项的系数”这一对概念一直是“二项式定理”教学环节中的一个重点和难点，而其中一个经典的例子就是“求展开式中系数最大项”.

经过回代验证，答案是正确的.平时的解题过程中，学生一般也不会仔细琢磨其中的一些细节问题.

师：大家用这种方法在解题目的时候，有没有感觉到哪里有点不对劲？

生1：总觉得有点说不清.

师：哪里说不清？能具体讲出来吗？

生2：好像不是完全等价.

师：不错！其实，大家的这种困惑我们可以用一个实例来形象刻画：如图1，为了要找到我们班最高的那位同学，我们让全班同学站成一排，按照解法的逻辑，那个比左边的同学不矮且比右边的同学不矮的人，其身高为全班最高.……大家想一想，对吗？

生3：不对，满足条件的未必是最高的，最高的也未必左右都有人.

图1

图2

师：我们再举一个数学中的例子，如何求函数f（x）在区间［a，b］上的最值（如图2）？

生4：要比较极小值和端点处的函数值来确定最小值；比较极大值和端点处的函数值来确定最大值.

师：很好，那最后回到我们今天的这个具体问题，你能完整表述你有哪些疑惑吗？

生5：系数最大项一定在展开式的“中段”吗？会不会在首项或末项？

生6：会不会有多个不连续的正整数，使得其对应的项的系数均为最大？

有了解法困惑，接下来学生就会自然地问“到底怎么解？”美国心理学家布鲁纳说：“学习最好的刺激源是对学习材料的兴趣.”据此，在激发学生学习热情的基础上，我们进一步提出有探索性、挑战性的具体问题.

问题1：有没有可能系数最大项出现在首项或者末项？若有的话，（*）式怎么解？

问题2：不等式（*）的解集中是否会出现不相邻的两个正整数，即是否会出现两个不相邻的“波峰”？

问题3：是否有其他方法来求解系数最大项？

鼓励学生不断举例、大胆猜想，对猜想结果进行验证，并不断补充完善，形成正确结论，或通过验证推翻原设想，再次猜想.这样，学生通过反复提出问题、多次猜想验证、合作交流，使知识、能力不断地得到提升.这种“发现问题—探究问题—解决问题”式的研究性学习顺理成章地成为了突破这一难点的有效手段，在这期间，我们教师的任务是引导学生正确思考、合理猜想、创造互动的课堂氛围.

“问题是数学的心脏”，数学的真正组成部分是问题和问题的解决.

针对问题2，是我们平时教学中不愿深究的问题，但如果不解决好它，那么这样的研究性学习也就失去了意义.

例2 已知常数a，b>0，求（ax+b）n展开式中系数最大的项．

针对问题3，回归系数“数列”的本质，即还可利用数列的单调性来解决系数最大的问题，如所给例题中，设得k<，得k>2，即a>a>a>…，345又因为k=2时，a=a，故展开式中系数最大的项为T=

三、合理变式——凸现数学本质

“二项式定理”题型，主要有“求展开式中的特定项或特定项的系数”、“求项的系数之和”、“应用（整除问题，近似计算，证明组合恒等式，证明不等式等）”等.若能将其归类并附上精心设计的铺垫性变式题组，在一定程度上可以让学生利用已有的知识来解决新问题、同化新知识，实现知识的迁移，从而提高学生的综合应用能力.这里，合理地运用变式教学是关键.

1.就“求展开式中的特定项或特定项的系数”而言

x3为______．

变式2：（2013年全国卷改编）已知（1+ax）（1+x）5的展开式中x2的系数为5，则实数a的值为____．

2.就“求项的系数之和”而言

变式1：已知（1-x）5（1+x+x2）4=a0+a1x+a2x2+…+a13x13，则各项的系数和为_______；奇次项的系数和为_______．

变式2：（2014年合肥改编）已知（x+2）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9，则各项的系数和为_________；（a0+a2+…+a8）2-（a1+a3+…+a9）2的值为_________．

设计意图：例4中多个小问包含不同的赋值方法，尤其（7）中的“求导后赋值”更具技巧性.从例题（2x-1）5=…+a13x13，使学生对于“赋值法”的认识不只是停留在表象上，再到（x+2）9=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9的形式，则能让学生更清楚地看透“赋值”的本质.

3.就“应用”而言

这样的变式教学，引导学生从“变”的现象中发现“不变”的本质，从“不变”的本质中探究“变”的规律，能让学生在无穷的变化中领略数学的魅力，更能让学生比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容.

四、归纳小结——凝练与提升

罗列提纲，拟定例题，而最终是要让学生通过例题及变题自己来总结解决问题的一般方法，于是，在导学案的设计上，笔者设计为“留白”.孔子曰“不愤不启，不悱不发”.通过变式教学，已然制造出一种“空白”让学生进入“愤”、“悱”状态，这种“空白”，是要让学生说出自己的心声、道出自己的感悟、写出属于自己的成功经验或是失败教训，让学生感到自己是一个发现者、探索者；同时，“通项化归法”、“组合分析法”、“赋值法”、“求导法”、“倒序相加法”、“构造法”等技能与技巧，让学生感到自己是一个研究者、收获者.因人而异的小结，是对自己课堂认知的凝练，以这种“留白”式的课堂总结和分享，让学生及时收获成果、发现不足，使自己的思维和知识得以升华.

五、课后练习——适度拓展巩固

江苏高考将“二项式定理”列为附加题可考内容之一，很大程度上赋予了它更多的灵活性，不再拘泥于现有固定的题型，因此关注一些二项式定理的交汇题，更能让学生的眼界开阔、思路发散.

拓展2：（与不等式结合）若（x+y）9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x+y=1，xy<0，则x的取值范围是_________．

设计意图：课后练习是数学课堂教学的重要延伸部分，是进一步理解数学概念的有效手段，是学习知识与应用知识的关键纽带，我们选题时精选，要求学生精炼，鼓励学生善于反思、勤于反思，这样才能让学生更有效、更积极地学习.

六、教学反思——以学定教、以教导学

“二项式定理”本身是高中数学较为经典的一个内容，作为高三复习课，相对于平铺直叙的直白复习，另辟“研究性学习”、“变式教学”、“留白”等角度重新定义该节课，少一些灌输，多一些探究，或许更能激发学生的学习热情、提升学习效果.

我们一般使用的“导学案”，即是由教师制定的引导学生学习、教给学生学习方法的预案，它的中心是老师的教，侧重于知识的传授，其最大的弊端在于它把一个个的学生当作死板的盛知识的容器.而根据建构主义理论，导学案的中心应该是学生的学，它侧重于过程的引导和方法的指导，其主要形式是合作探究的学习方式，最终的目的是让学生学会学习、主动学习、合作学习.所以通过这节课，笔者感悟到，要真正地把课堂还给学生，突出学生的主体地位，这样才能让学生在课堂上肯学、乐学.

通过变式教学来加强学生对知识的深入理解，加强对知识的形成和发展过程的掌握，提高学生解决问题的综合能力的同时，也可大大提高数学的学习效率.变式教学不仅能帮助学生积累和总结一些实用的规律，更重要的是能培养学生观察和归纳的能力.在高中数学中，学生掌握了不同的思想方法的适用条件，对于完善思维严谨性、拓展思维灵活性起到了积极的作用.

江苏高考附加题不涉及填空，考则便是大题，但是不管怎样，作为我们教师在教学上仍需要以小见大，将学生的双基夯实，在平时的练习中逐渐涉及有难度的综合题，让学生有一个良好的心态稳定发展.更重要的是，我们要不断激励学生，点燃学生的智慧火花，使学生的探究能力和创新能力得到充分发展.