“化圆”策略在几何最值问题中的运用

苏红芬

几何最值问题是中考数学的一个热点问题，涉及的内容可覆盖整个初中平面几何知识.而很多几何最值问题往往可以转化为以圆为载体的问题，这类问题集多个知识点于一体，能全方位地考查同学们的基础知识、基本技能、解题技巧以及数学思维和素养，成为中考试题中的一朵奇葩.本文将结合2015年湖北武汉中考选择题最后一题，就圆中的最值问题加以归类总结，并通过举例说明它们的解法.

一、 动点在圆上，定点在圆外（内）

例1 （2015·湖北武汉）如图1，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（ ）.

A. 2- B. +1

C. D. -1

【全面解析】先考虑让△EFG和△BCA重合，然后把△EFG绕点D顺时针旋转，连接AD、DG，根据旋转角相等，旋转前后的对应线段相等，容易发现∠ADG=∠FDC，DA=DG，DF=DC，故∠DFC=∠DCF=∠DAG=∠DGA.又根据等腰三角形的“三线合一”可知∠FDG=90°，所以∠DFG+∠DGF=90°，即∠DFC+∠CFG+∠DGF=90°. 所以∠AMC=∠MGF+∠CFG=∠AGD+∠DGF+∠CFG=∠DFC+∠DGF+∠CFG=90°. 故点M始终在以AC为直径的圆上，做出该圆，设圆心为O，连接BO与⊙O相交于点P，线段BP的长即为线段BM长的最小值. BP=BO-OP=-1，故选D.

【难点突破】本题发现点M始终在以AC为直径的圆上是解题的重要突破口. 考虑让△EFG和△BCA重合，然后把△EFG绕点D顺时针旋转，借助旋转的性质找出解题思路是分析有关旋转问题的重要方法.

【回归本质】①定性分析：动点M在圆上，定点B在圆外（内），求线段BM最短（最长）的方法是作定点与圆心的连线.如图2，当点M与点P重合，则BM最小，当点M与点N重合，则BM最大.

②定量计算：边长为2的等边三角形一边上的中线BO=，故BM长的最小值BP=BO-OP=-1.

【提炼模型】①当点B在⊙O外，在⊙O上取一点M，M在何处，BM有最小值？M在何处，BM有最大值？

②当点B在⊙O内，情况又怎样？

答：作定点B与圆心O的连线. 当点M在P点时，BM有最小值；当点M在N点时，BM有最大值.

变式 （2014·江苏徐州一模）如图5，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1.点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，写出线段EP1长度的最大值与最小值.

【全面解析】（1） 理清“变”与“不变”. 如果先抓“变化”的量，△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P既在旋转又在线段AC上运动，比较难以把握，所以应先抓“不变”的量.①点E始终在以定点B为圆心，AB即2为半径的圆上.②点P始终在线段AC上，当点P与点C重合时，点P距定点B的距离最大为6；当BP与线段AC垂直时，点P距定点B的距离最小为BC·sin30°=3，所以无论△ABC绕点B如何旋转，点P的运动轨迹始终在以定点B为圆心，3和 6为半径的两个同心圆之间的圆环上.

（2） 假定E点不动，这个问题可以分解成圆内一定点到圆上一动点最值问题的基本图形.

其中，当点P在点F处时，EP1最小，最小值为3-2=1，当点P在点K处时，EP1最大，最大值为6+2=8.

【难点突破】本题发现点E始终在以定点B为圆心，AB即2为半径的圆上以及点P始终在以定点B为圆心，3和6为半径的两个同心圆之间的圆环上是解题的关键.

二、 动点在直线上，定点在直线外

例2 （2014·云南）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，矩形ABCO的顶点分别为A（3，0）、B（3，4）、C（0，4），点D在y轴上，且点D的坐标为（0，-5），点P是直线AC上的一个动点.当点P沿直线AC移动时，以点P为圆心、R（R>0）为半径长画圆，得到的圆称为动圆P. 若设动圆P的半径长为AC，过点D作动圆P的两条切线与动圆P分别相切于点E、F. 请探求在动圆P中，是否存在面积最小的四边形DEPF？若存在，请求出最小面积S的值；若不存在，请说明理由.

【全面解析】（1） 转化的思想.

①S四边形DEPF=2S△DPE=DE·PE=DE·

=；

②四边形DEPF的面积要最小，只要DP最小，当DP⊥AC时最小，此时DP=9sin∠DCP=，四边形DEPF的面积的最小值为.

（2） 函数思想建立四边形面积与线段DP的函数，利用函数增减性确定P点的位置.

【难点突破】圆心P作为动点在直线AC上，定点D在直线AC外，根据垂线段最短原理即可解决.

变式 如图10，平面直角坐标系中，A（-4，0），B（0，4），C（2，0），D是线段BC上的动点，过D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF、AD，则线段EF的最小值为多少？

【全面解析】首先要发现A、F、D、E四点共圆，可以用圆的定义“到定点的距离等于定长”来说明，也可以依据对角互补的四边形四点共圆的经验来判断.得出EF是以AD中点为圆心，AD为半径的圆中的弦.其次，要利用同弧所对的圆心角是圆周角的两倍，从而得出∠EGF=90°，△EGF是等腰直角三角形，故EF=·AD=AD.建立函数，要使得EF最小，只要AD最小，从而将问题引入动点D在直线BC上，定点A在直线BC外这种基本模型，根据垂线段最短原理即可解决.

【难点突破】①要发现A、F、D、E四点共圆；

②能够得出∠EGF=90°，△EGF是等腰直角三角形；

③运用垂线段最短原理；

④会利用三角函数正确求解.

综上所述，对于几何最值问题，同学们遇到时不必惊慌失措，常常可以想一想“化圆”策略，重点可以用到以下两个结论：1. 两点之间，线段最段；2. 垂线段最短.

（作者单位：江苏省常州市武进区湖塘实验中学）