学好基础知识正确选择方法

刘玉

一元二次方程是初中数学“数与代数”领域中的基础内容，它与生活联系密切，是中考的重点之一。

一、一元二次方程的根

例1 （2014 荷泽）已知关于 的一元二次方程 有一个非零根 ，则 的值为（ ）

A.1 B. C.0 D.

【分析】 由于关于 的一元二次方程

有一个非零根 ，那么代入方程中即可得到 ，即

，因为 ，所以 .所以 =1.

【答案】：A

【点评】已知含参数的方程的根，往往根据方程根的定义直接代入方程，得到一个关于参数的新方程，从而确定参数值。

二、一元二次方程的解法

一元二次方程的基本解法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。我们既要理解一元二次方程解法中转化的数学思想，如配方法体现了数学式子的转化，公式法直接利用公式把方程中的“未知”转化为“已知”，因式分解法通过“降次”把一元二次方程转化为两个一元一次方程，又要善于根据一元二次方程的特征，灵活运用各种解法并能选择最佳解法。

例2 （2012 永州）解方程：

-9=0.

【分析】将原方程化为 ，

利用直接开平方法求解。

解：移项，得： ，

直接开平方得，得： ，

.

【点评】解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成 （k≥0）的形式，利用数的开方直接求解。用直接开平方法解方程可概括为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”.这里的x 可代表一个式子。

例3（2014 庆阳） 解方程：

.

【分析】本题二次项系数是1，先将常数项移到等号的右边，再配方即可。

解：移项，得：

配方，得 ，

即

直接开平方得，得

【点评】当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，比较容易配方，所以常用配方法求它的根。配方法是对二次项和一次项配方，因此一般先将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的另一边，利用等式的性质，方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。配方法解一元二次方程，实质上就是对一元二次方程变形，转化成能直接开平方所需的形式。

例4（2013无锡）解方程：

【分析】此方程的二次项系数为1，一次项系不是二次项系数的偶数倍，用公式法较简便。先确定公式中的 的值，并计算出 的值，然后代入求根公式，即可求出方程的根。

解：

【点评】公式法是解一元二次方程的通法。在用公式法解一元二次方程时，一定先要将方程化为一般形式，再确定 的值；然后计算判别式的值，必须满足 时，才能将 的值代入求根公式。如果 ，那么在实数范围内原方程没有实数根。当 时，必须把原方程的根写成 的形式，表示有两个相等的实数根。

例5（2014自贡）解方程：

.

【分析】此方程先通过移项转化为方程右边为0的形式，然后利用提取公因式法分解因式。

解：原方程可化为

=0.

即 ，

，

【点评】用因式分解法解一元二次方程是通过因式分解降次，把原方程转化为两个一元一次方程。此解法只适用于方程的一边为0，另一边能分解因式的一元二次方程。

【规律总结】解一元二次方程的关键是方法的选择，一般按照先特殊后一般的程序选择，考虑的顺序是直接开平方法→因式分解法→公式法，配方法除特别要求使用此解法外一般不用。但配方法在学习其它数学知识时有广泛的应用，是要求掌握的重要数学方法之一。

三、配方法的应用

例6 求证：无论 取何值，代数

的值都是正数。

【分析】判断一个二次三项式的符号，一般采用配方法.二次三项式配方的关键步骤如下：①提取二次项系数使括号内的二次项系数为1；②在括号内加上一次项系数一半的平方，同时减去一次项系数一半的平方.

解：

=

= = .

无论 取何值，代数式

的值都是正数.

【点评】二次三项式的配方过程与用配方法解一元二次方程的过程既有联系又有区别，希望同学们引起足够的重视.通过对二次三项式的配方，还可以求出二次三项式的最大值或最小值.如由 可得 ，从而本题中代数式 + 的最小值为3.

（作者单位：南师大第二附属初级中学）