数据的集中趋势和离散程度考点风向标

夏冬平

数据的集中趋势和离散程度的中考考点有哪些？夏老师给大家做了总结，请看下文.

考点一 求平均数

例1 （2015·江苏无锡）某种蔬菜按品质分成三个等级销售，销售情况如下表：

则售出蔬菜的平均单价为________元/千克.

【解析】用加权平均数公式计算：售出蔬菜的平均单价为=4.4（元/千克）.

【点评】根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为=，这样求得的平均数叫作加权平均数，其中w1，w2，…，wk叫作权，当一组数据中有重复出现的数据时，常用加权平均数的计算公式计算平均数.

考点二 求中位数和众数

例2 （2015·广东梅州）在“全民读书月”活动中，小明调查了班级里40名同学本学期计划购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图.请根据相关信息，解答下列问题：

（1） 这次调查获取的样本数据的众数是_______；

（2） 这次调查获取的样本数据的中位数是_______；

（3） 若该校共有学生1 000人，根据样本数据，估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有_______人.

【解析】（1） 众数就是出现次数最多的数，观察统计图可知，数据30出现的次数最多，达12次，因此，样本数据的众数是30.

（2） 班级共有40名同学，将40个数据从小到大排列，第20、21个数据的平均数就是样本数据的中位数，由图可知，第20、21个数据均是50，因此，样本数据的中位数为50.

（3） 算出样本数据中本学期计划购买课外书花费50元的学生所占总人数的百分比，再乘1 000即可.

∴估计本学期计划购买课外书花费50元的学生有：1 000×=250（人）.故答案是250.

【点评】将给出的一组数据从小到大（或由大到小）排列，然后根据数据个数的奇偶性来确定中位数，根据这组数据出现次数的多少确定众数，最后一步体现了用样本估计总体的思想.

考点三 方差

例3 （2014·四川遂宁）我市射击队为了从甲、乙两名运动员中选出一名运动员参加省运动会比赛，组织了选拔测试，两人分别进行了五次射击，成绩（单位：环）如下：

则应选派_______运动员参加省运动会比赛.

【解析】先分别计算出甲和乙的平均数，再利用方差公式求出甲和乙的方差，最后根据方差的大小进行判断即可.

甲的平均数是：（10+9+8+9+9）=9，

乙的平均数是：（10+8+9+8+10）=9，

甲的方差是：s2 甲=[（10-9）2+（9-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（9-9）2]=0.4，

乙的方差是：s2 乙=[（10-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（8-9）2+（10-9）2]=0.8.

∵s2 甲

∴应选择甲运动员参加省运动会比赛.故答案为“甲”.

【点评】方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

考点四 “三数与方差”的综合应用

例4 （2015·吉林）要从甲、乙两名同学中选出一名，代表班级参加射击比赛，如图是两人最近10次射击训练成绩的折线统计图.

（1） 已求得甲的平均成绩为8环，求乙的平均成绩；

（2） 观察图形，直接写出甲、乙这10次射击成绩的方差s2 甲，s2 乙哪个大；

（3） 如果其他班级参赛选手的射击成绩都在7环左右，本班应该选_______参赛更适合；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，本班应该选_______参赛更适合.

【解析】（1） 从折线统计图中得出乙10次射击成绩，根据平均数公式求得乙的平均成绩，

∴乙的平均成绩为：

乙==8（环）；

（2） 观察图形，显然甲的波动性大，乙的波动性小，所以s2 甲>s2 乙；

（3） 因为甲、乙的射击平均成绩均高于7环，且乙的方差小，成绩比较稳定，因此选乙参赛比较适合；如果其他班级参赛选手的射击成绩都在9环左右，而乙的最好成绩为9环，甲有两次成绩为10环，甲更有希望比赛获胜，故此时选甲参赛更适合.

【点评】比较两组数据方差的大小有两种方法：一是先计算出各组数据的方差再比较大小，二是根据图判断数据波动的大小，由方差的意义可知波动大的方差就大.本题（2）就是选用的第二种方法.

从上面的几种类型中我们可以看出数据的集中趋势和离散程度有哪些常见考点，而解决这些考点需要我们认真理解平均数、中位数、众数、方差等的意义及公式，理解并记牢公式是解决问题的前提.

（作者单位：江苏省海门市东洲国际学校）