数学思想引领成长

何夏花

我们知道，数学思想是数学知识的精髓，学习数据的集中趋势和离散程度也离不开数学思想的运用.为了帮助同学们提高数学素养和思维能力，现将数据的集中趋势和离散程度中蕴涵的数学思想剖析如下.

一、 方程思想

在本章的习题中，有很多是需要利用平均数、中位数、众数的概念来构造方程解决问题的，这种利用方程来思考和解决问题的思想就是方程思想.

例1 一组数据按从小到大的顺序排列为：2，4，8，x，10，14. 若这组数据的中位数为9，则这组数据的众数是（ ）.

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10

【解析】本题中的数据已从小到大排列，则根据中位数的意义，可构造一个关于x的方程：=9，解得x=10，故选D.

二、 整体思想

已知一组数据的平均数或方差，求与之相关的一组新数据的平均数或方差时，常常需要结合平均数或方差的定义，运用整体思想解决.

例2 如果数据x1、x2、x3的平均数是2，那么数据x1+1，x2+3，x3+5的平均数是_______.

【解析】因为x1、x2、x3的平均数是2，所以x1+x2+x3=6，要求数据x1+1，x2+3，x3+5的平均数，只要利用平均数的定义，整体代入求解.

∵x1、x2、x3的平均数是2，∴x1+x2+x3=6，根据平均数的计算公式，x1+1，x2+3，x3+5的平均数是（x1+1+x2+3+x3+5）=（x1+x2+x3+9）=（6+9）=5.

三、 数形结合思想

本章的知识背景中有不少涉及统计图，从图像中获取相应的信息是本章的一个重要内容，体现了数形结合思想，

例3 某地区5月3日至5月9日这7天的日气温最高值统计图如图所示.从统计图看，该地区这7天日气温最高值的众数与中位数分别是（ ）.

A. 23，25 B. 24，23

C. 23，23 D. 23，24

【解析】先从统计图中获取准确数据，再根据众数与中位数的概念进行求解.将从统计图获取的7天气温数值从小到大排列：21，23，23，23，25，25，27，其中出现次数最多的数据是23，即众数是23，处于最中间的数是23，即中位数是23，故选C.

四、 分类讨论思想

分类讨论思想就是针对数学对象的共性与差异性，将其分为不同种类. 在本章中当数据的大小未知时，就应对某一数据分类讨论从而确定排列顺序，进而确定中位数等内容.

例4 已知一组数据5，7，7，x的中位数与平均数相等，求x的值及这组数据的中位数.

【解析】由题意可知这组数据的平均数为，题中共有4个数据，根据中位数的求法，需将这组数据按大小顺序排列，而x的值未知，故需对x进行分类讨论.

当x≥7时，原数据按从小到大的顺序排列为：5，7，7，x，则中位数为.∵中位数与平均数相等，∴=，解得x=9.

当x≤5时，原数据按从小到大的顺序排列为：x，5，7，7，其中位数为.∵中位数与平均数相等，∴=，解得x=5.

当5

综上所述，当x=5时，中位数为6；当x=9时，中位数为7.

五、 用样本估计总体的统计思想

用样本平均数来估计总体平均数，用样本方差来估计总体方差，这是数学中最常用的方法，也是统计学的核心.我们在学习时，要注意比较、分析，不同的样本会对总体做出不同的估计，因此选择合适的样本来估计总体特征是解决此类问题的关键.

例5 水资源越来越缺乏，全球提倡节约用水，水厂为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，有关数据如下表：

如果该小区有800户家庭，根据上面的统计结果，估计该小区居民每月需要用水多少立方米？

【解析】先根据样本数据求出这10户家庭的月平均用水量，用所得的平均数估计总体平均数，再乘该小区的总户数来估计该小区居民每月需要用水量.

10户家庭的月平均用水量为：

=14（立方米），由此估计该小区800户家庭每月需要用水14×800=11 200（立方米）.

小试身手

1. 若一组数据1，1，2，3，x的平均数是3，则这组数据的众数是________.

2. 若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的方差是3，则数据2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是________.

3. 已知一组数据0，-1，x，1，2的极差是4，则x的值为________.

4. 在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名学生参赛成绩统计如图所示.对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ）.

A. 众数是90 B. 中位数是90

C. 平均数是90 D. 极差是15

5. 某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解活动一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中随机选取20名同学统计了各自家庭一个月的节水情况（如下表）：

估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是多少m3？

参考答案：

1. 1 2. 12 3. -2或3 4. C 5. 130 m3

（作者单位：江苏省海门市悦来初级中学）