认识错误 正确归因

陈朝晖

很多同学在分析错题原因时往往归结为粗心，其实粗心只是表面现象。同学们一定要认真分析，对症下药，才能彻底解决问题。一元二次方程中常出现典型错误归纳分析如下：

一. 不注意定义、概念等文字中的条件，尤其是隐含条件.

1.忽视一元二次方程定义的条件.

例1.下列方程是一元二次方程的是

（1） x2+ +1=0 （2）2x（x+2）=2x2 （3） + =1

误解：（1）、（2）

分析：一元二次方程的定义中有三个要素：一元、二次、整式方程. （1）是分式方程， （2）化简后为4x=0 ，不含有二次项（3）误认为是分式.

正解：（3）

2.忽视一般式中的隐含条件.

一元二次方程的一般式是ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）.这里隐含了b、c可以等于0.由于对于定义理解不透彻，常常会出现下面的错误.

例2 （1）X2=0 和（ 2） ax2+bx+c=0是一元二次方程吗？

误解：（1）不是，（2）是

分析：（1）x2=0受一般式的影响，忽略了b、c可以为0， （2）没有条件a≠0

正解：（1）是一元二次方程。（2）不一定是

3.对条件“熟视无睹”.

例3.若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是

误解：∵△=（-2）2-4k×（-1）=4+4k﹥0 ∴

k>-1

分析：没有考虑二次项系数k 0

正解：k>-1且k 0

例3、若关于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-3m+2=0的常数项为0，则m的值等于多少？

误解：由题意得：m2-3m+2=0，解得：m1=1，m2=2.

分析：没有考虑二次项系数m-1 0，即m 1的条件.

正解：由题意得：m2-3m+2=0，

解得：m1=1，m2=2.又m-1 0，即m 1.

m=2

二.解题方法与策略失当.

1.解方程方法失当。

例3. 解方程

①（x-3）（x+1）=x-3， ②4（x-1）2-9=0

对①误解：两边同时除以（x-3）得

x+1=1， 得x=0.

分析：应该用因式分解法，错用了等式性质2.

正解：（x-3）（x+1）-（x-3）=0

（x-3）（x+1-1）=0

X1=3，x2=0

对②误解：把原方程化成一般式后用“公式法”甚至用“配方法”求解.

分析：根据方程特征，没有用“直接开平方法”

正解：∵（x-1）2=

∴x-1=± ，解得x1= ，x2=-

2.解题策略失当.

例4、已知方程x2+bx+c=0的两个根分别是（ +1）和 2-1），求b、c的值

误解：把两根分别代入原方程，再解关于b、c的方程组.

正解：根据根与系数的关系得-b= +1+ 2-1=2 得b=-2

C=（ +1） 2-1）=2-1=1

3. 数学思想欠缺

例5、三角形两边长是3和4，第三边长是方程x2-12x+35=0的根，则该三角形的周长为多少？

误解：解方程x2-12x+35=0得x1=5，x2=7.当x=5时周长=12，当x=7时周长=14

分析：缺少数形结合的思想，三角形的三边要满足任意两边之和大于第三边.

正解：解方程x2-12x+35=0得x1=5，x2=7.当x=5时周长=12，当x=7时不满足两边之和大于第三边，故舍去。所以周长为12.

例6.若关于x的方程（m2-1）x2+（m-1）x+ =0有实数解，求m的取值范围.

误解：∵方程有实数根∴△=（m-1）2-4（m2-1）× ≥0，解得m≤1

分析：没有分类讨论，综合求解。方程既可以是一元二次方程，也可能是一元一次方程.

正解：（1）当m2-1=0时m=±1.又m=1时方程不成立，∴m≠1；m=-1时，方程-2x+ =0为一元一次方程，有实数解，满足题意.

（2）当m2-1≠0即m≠±1时，方程为一元二次方程，∵方程有实根∴（m-1）2-4（m2-1）× ≥0，解得m≤1

又m≠±1，所以m<1且m≠-1.

综上所述，m的取值范围为m<1.

例7、关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则m的值是多少？

误解：由题意得：x1+x2=m，x1x2=2m-1∵x12+x22=7∴（x1+x2）2-2x1x2=7∴m2-4m-5=0

∴m1=5，m2=-1

分析：忽略了一元二次方程必须满足b2-4ac≥0才有实数根这一条件，对m没有讨论.

正解：由题意得：x1+x2=m，x1x2=2m-1∵x12+x22=7 ∴（x1+x2）2-2x1x2=7∴m2-4m-5=0∴m1=5，m2=-1 ∵当m=5时，b2-4ac=25-36=-11<0，舍去。当m=-1时，b2-4ac=1+12=13>0，满足题意，∴m=-1.

希望同学们能认真对待作业中的错误，正确分析错因， 努力提高练习的正确率.

（作者单位：南师大第二附属初级中学 ）