根植于课本着眼于提高

刘玉兵

在平时的学习过程中，我们要学会有效利用课本例题，适当拓展，及时归纳、提炼和强化。本文从教材中一道一元二次方程应用的例题出发并加以拓展，供同学们参考。

原题呈现：苏科版《数学》九年级上册第28页

问题6 如图1-5，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿AB以1 cm/s的速度向点B移动；同时，点Q从点B出发沿BC以2 cm/s的速度向点C移动，几秒钟后△DPQ的面积等于28 cm2？

【分析】设x秒后△DPQ的面积为28cm2，则AP、PB、BQ、QC的长度分别可用含x的代数式表示，从而Rt△DAP、Rt△PBQ、Rt△QCD的面积也可用含x的代数式表示，于是可以列出方程。

解：设x秒后△DPQ的面积为28cm2，则△DAP、△PBQ、△QCD的面积分别为 、 、 ，

根据题意得

- - - =28

即

解这个方程，得

X1=2，x2=4

答：2s或4s后的△DPQ面积等于28cm

拓展一：问题条件不变，△DPQ的面积能否等于5？

解：设x秒后△DPQ的面积为25cm2，

根据题意得

- - - =25

即 x -6x+11=0 ， △<0

所以，无解。

这就是说△DPQ的面积不可能等于25.

事实上，

△DPQ的面积

=6×12- ×12x- ×2x（6-x）- ×6（12-2x）

=x -6x+36=（x-3） +27

故其最小值是27，

当然不可能取小于27的数值。

拓展二： 设运动时间为x，试说明在P、Q运动进程中，四边形PBQD的面积是一个定值

【分析】可以将四边形PBQD的面积用含有x的式子表示出来，化简后若式子中不含有字母x，则说明在p、Q运动过程中四边形PBQD的面积保持不变，是一个定值

解： 由A P=x，所以QB=2x，CQ=12-2x

S四边形PBQD=S -S△CDQ- S△APD= - - =72-36+6x-6x=36

【点评】解决此类图形面积的问题的关键是用自变量表示相关线段的长，用面积计算公式代入，再进行化简即可。

拓展三：设运动时间为x， 当x为何值时，△DPQ是等腰三角形；

【分析】题中没有明确哪两条边相等，所以应该分三种情况，分别是①DP=PQ，②DP=DQ，③PQ=DQ，从而求出所需的时间.

解：①当DP=PQ时，由勾股定理可得：

122+x2=（6-x）2+（2x）2.

解这个方程得，x1= >6（舍去）， x2=

②当DP=DQ时，由勾股定理可得：122+x2=62+（12-2x）2.

解这个方程得，x1=8+ >6（舍去）， x2=8 -

③当DQ=PQ时，由勾股定理

可得：

62+（12—2x）2=（6一x）2+（2x）2.

解这个方程得：x1=-18+ x2=-18-

综上可得：当x1=8 - 、x2=-18+ 时，△DPQ是等腰三角形.

拓展四：设运动时间为x， 当x为何值时，五边形APQCD的面积最小，最小值是多少？

【分析】主要是先将△PBQ的面积用x的代数式表示，然后将五边形APQCD的面积表示出来后再进行讨论。

解： 由A P=x，所以PB=6-x， QB=2x，

S五边形APQCD

=S矩形ABCD-S△PBQ = -

=72-（6x-x2）=x2-6x+72=（x-3）2+63 63

所以，当x=3时，五边形APQCD的面积最小，最小面积是63 cm2.

【点评】解决图形面积的最值问题，主要是将表示面积的代数式配方后求出最值。

拓展五：若点P从点A出发沿A-B-C以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B出发沿B-C-D以2 cm/s的速度向点D移动，如何表示△PDQ的面积，尝试着提出上面类似问题。

提示：此时要分类讨论。

总之，学好数学，需要我们根植于课本，着眼于提高，让我们共同努力吧！。

（作者单位：南师大第二附属初级中学）