丁建生
数学思想方法是学习的重点,也是解题的关键.《一元二次方程》中蕴含着许多思想方法,现举例说明.
一.转化思想
转化就是将复杂的、陌生的、未知的问题转变为简单的、熟悉的、已知的问题,使得问题顺利解决.
例1. 已知关于x的方程x -3x+m=0的一个根是-1,求m及另一个根.
分析:-1是方程的根,由根的定义,-1就满足了方程. 故将-1代入后,就转化为关于m的一元一次方程.
解:∵-1是方程x -3x+m=0的根
∴(-1) -3(-1)+m=0 ∴m=-4
把m=-4代入方程得 x -3x-4=0 解此方程得 x=-1, 4 故另一根是4.
反思:用方程根的定义,问题就转变成了m的方程;当求出m后,方程就具体化了,问题又转变成了解一元二次方程。当然求另一根时,还可用根与系数关系-1+x =3, 此时问题就变成了解简单的一元一次方程.事实上,数学学习中解决问题的过程就是不断将问题转化的过程.
二.分类讨论
分类讨论就是根据问题中的对象的差异,分别对各种不同的情况予以分析,从而将“大”问题分解为几个“小”问题去解决.
例2.已知关于x的方程x -2(k-1)x+k =0有两个实数根x 、x
(1)求k的取值范围
(2)若︱x +x ︱=x x -1,求k的值
解析:(1)由题意得△≥0
即[-2(k-1)] -4k ≥0,解得k≤
(2)解法一 依题意 x +x =2(k-1), x x =k
以下分两种情况讨论
①当x +x ≥0时,则有x +x = x x -1
即2(k-1)= k -1 解得k =k =1
∵ k≤ ∴k =k =1不合题意,舍去
②当x +x <0时则有-(x +x )= x x -1
即 -2(k-1)= k -1 解得 k =1,k = -3
∵ k≤ ∴ k = -3
综合 ①② 可得 k=-3
解法二: 依题意 x +x =2(k-1)
由(1)可知 k≤
∴2(k-1)<0 即x +x <0
∴ -2(k-1)= k -1
解得 k =1,k = -3
∵ k≤ ∴ k = -3
反思:本题(2)的解法一中为了去掉绝对值符号,需对绝对值号里面的式子的值的“+、-”进行讨论。若对题目“已知方程
kx -(2k+1)x+k-1=0有实数根,求k的取值范围”,则需对k=0或k≠0的两种情况进行讨论.
三.整体思想
整体思想就是指从问题整体性质出发,发现问题的整体结构特征,把某些式子或图形看成整体,使问题得到有目的的整体处理.
例3.(1)已知a、b是方程x2-x-3=0的两个根,则代数式2a3+b2+3a2-11a-b+5的值是多少?
(2)若x1、x2是一元二次方程x2+2x-6=0的两根,求x1 +x2 的值.
分析:如果直接求a、b或x1、x 的值,将其代入所求式子,则很繁琐。若根据方程根的定义和根与系数的关系进行整体代入,就方便些.
解:(1)∵a、b是方程x2-x-3=0的两个根,∴a -a-3=0 b -b-3=0
∴ a -a=3 b -b=3 及a =a+3
∴2a3+b2+3a2-11a-b+5=2a·a +3a2-11a+
(b2 –b)+5=2a (a+3) +3a2-11a+3+5
=5(a -a)+8=23
(2) ∵ x1、x2是 x2+2x-6=0的两根
∴x +x =-2 x x =-6
∴ x1 +x =(x +x ) -2x x
=(-2) -2·(-6)=4+12+16
反思:对问题(1)的条件也可改为x- =1,其本质是一样的.但用它可迅速求出类似x + 等式子的值。对问题(2)我们可继续x +x 等式子的值.
四.方程思想
方程思想就是从问题的数量关系入手,将问题中的条件转化为方程问题,然后通过解方程(组)来使问题获解.
例4.(1)若关于x的一元二次方程x2-6x-m=0有两个相等实根,则m=
(2)已知关于x的一元二次方程x +(m-1)x-2m +m=0(m为实数)
有两个实数根x 、x
①当m为何值时,x ≠x ②若x +x =2,求m的值.
解:(1)∵方程x2-6x- m=0有两个相等实根 ∴△=(-6) +4m=0
∴m=-9
(2) ① 由 x ≠x ,得方程有两个不等实根,所以△>0
∴ △=(m-1) -4(-2m +m)=(3m-1) >0
∴ m≠
② ∵x +x =-(m-1). x x =-2m +m x +x =2
∴(x +x ) -2 x x
=[-(m-1)] -2(-2m +m)=2
即 5m -4m-1=0 ∴m = - m =1
反思:两个等式△=0 ,x +x =2是建立方程的依据.所以,寻找并充分运用问题中的相等关系是方程思想的关键.
五.建模思想
数学建模就是构造数学模型的过程.是将实际问题抽象成数学问题,再继续将其变为方程、函数、不等式等问题.
例5 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次,第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件,每件利润6元. 每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件.
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数,且1≤x≤10),求出y关于x的函数关系式.
(2)若生产第x档次的产品一天的利润为1120元,求该产品的质量档次.
解析:(1)因为第1档次的产品一天能生产95件,每件利润6元.每提高一个档次,每件利润增加2元,但一天产量减少5件. 所以第x档次时,实际提高了x-1档,所以
y=[6+2(x-1)][95-5(x-1)]
即y=-10x +180x+400
(其中x是正整数,且1≤x≤10)
(2)由题意可得 -10x +180x+400=1120
整理得x -18x+72=0
所以 x =6 x =12(舍去)
反思:本题的背景是一个实际问题.在(1)中,根据条件,理清数量关系,建立了档次x与利润y间的函数模型;在(2)中,由利润的具体数值,形成了等量关系,建立了方程模型.建立模型的关键就是分析问题、转化问题,最终解决问题.
(作者单位:南师大第二附属初级中学)