几何直观在小学“数与代数”教学中的运用

金建琴

摘 要： 随着数学课程标准指出要培养和发展学生的几何直观能力，几何直观便成为数学教育的一个重要问题。本文通过在小学数学“数与代数”的教学中运用几何直观的实践与探索，阐述运用几何直观对理解数学概念、发现数学规律、探究计算方法和分析数量关系四方面的作用，提出运用几何直观教学是新教材的要求，也是提高学生数学素质的要求。

关键词： 几何直观 小学数学 数与代数 教学运用

几何直观是数学研究及数学教学的重要方法之一。《课程标准（2011版）》指出：几何直观是指利用图形描述几何或者其他数学问题、探索解决问题的思路、预测结果。在许多情况下，借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象。几何直观不仅在“图形与几何”的学习中发挥着不可替代的作用，而且贯穿整个数学学习。就如何在小学数学“数与代数”的教学中运用几何直观这一问题，笔者进行了实践与探索。

一、运用几何直观，形成数学概念

德国哲学家康德认为：“缺乏概念的直观是空虚的，缺乏直观的概念是盲目的。”小学生形象思维占主导地位，对知识的理解应该建立在丰富典型的直观表象基础上。因此，把教材中静止的、较难理解的概念，运用几何直观生动形象地呈现出来，使抽象的概念变成看得见的数学知识，有助于学生更直观地理解所学习的内容。

如教学四年级《速度、时间和路程》这节课，速度概念的理解是本节课的教学重点，也是解决相关问题的基础。速度这个词在生活中经常出现，学生一般也能知道通常说的快慢指的就是速度。但它不同于路程和时间，因为路程这个量是学生能够直观看到，非常明确，时间也是学生常见的，而速度概念比较抽象，是指单位时间内运动的路程，其单位是由长度单位和时间单位两部分复合组成，这种表示形式学生比较陌生，理解起来有一定的困难。所以，在教学中我充分运用直观图。首先情境导入，学校到书店有300米，小明要走4分钟，小红要走6分钟，谁走得快些？学生通过计算，发现小明每分钟走75米，小红每分钟走50米，小明快些。这时候学生是通过数据的比较解决问题的，对这个数据表示的就是速度，概念的理解还非常模糊。这时候，老师出示两段同样长的线段，表示300米，分别平均分成4份和6份。指出一段就是“每分走多少米”，也就是他们各自的速度，通过每份长短的比较，明白小明的速度比小红要快一些。通过几何直观把速度这个概念具体形象化，帮助学生突破概念理解上的难点，真正把握概念的实质和内涵。

又如《百分数的意义》的教学，这节课的重点是让学生理解百分数的含义，明确是两个量之间的比较关系。教学时可以通过直观图深化理解这一概念。首先出示信息：盐占盐水的30%，让学生在百格图中表示出这个百分数，并说一说盐和盐水各指哪一部分。在涂画百格图和两个量的比较中，帮助学生建立起对抽象的20%与相应的直观图的认知联系，形成相应的认知图式，这是对任何一个百分数的理解最基本的形象支撑。随后老师要求学生在10等份的线段图上表示出这个30%。追问：为什么平均分成10份，也可以表示出30%？学生经过思考，得出把10份中的每一份想象成再平均分成10小份，这样整条线段就平均分成100份，而其中的3大份就是30小份，所以同样可以表示20%。这样，在两幅图的比较中帮助学生逐步脱离具体的100份，加深了对百分数意义的理解。在教学中，运用几何直观既能加深学生对知识的理解，又能培养学生的空间想象能力和用图形语言思考问题的能力。

二、运用几何直观，发现数学规律

几何直观是一种创造性思维，对于数学中的很多问题，灵感往往来自于几何直观。数学家总是力求把他们研究的问题尽量变成可借用的几何直观问题，使他们成为数学发现的向导。

如教学《积的变化规律》这节课，它是在学生掌握三位数乘两位数的计算方法的基础上进行教学的，主要引导学生探索当一个因数不变时，另一个因数与积的变化情况，从而归纳积的变化规律。因此，一般老师在教学时都是先出示几组算式，通过计算，观察因数和积的特点，初步概括出规律，然后让学生通过举例进行验证，最后运用规律解决问题。当然，这样的教学对凸现学生学习自主性有一定的作用，但是如果在这节课中与平面图形面积研究相结合，让学生借助图形的面积变化理解积的变化规律，则不仅更容易掌握知识，而且对学生几何直观的培养有很大的作用。教学中，教师先出示一个长方形，已知它们的长和宽分别为80、60，学生计算出面积为80×60=480。然后长方形的长不变，将宽缩短，让学生估计变化后长方形的面积大约是多少，并说说估计的方法。学生纷纷表示长方形长不变，宽缩小，所以面积也缩小，估计都缩小了3倍。然后验证学生估计是否正确。在这个环节的设计中，学生借助图形的变化意识到，当长方形的长不变，面积随着宽的缩小而缩小。接着长方形长还是不变，将长方形的宽扩大，让学生说说这时候长方形的面积变化。当学生发现面积的变化规律后，老师让学生观察算式进行小结：两个数相乘，这两个数叫因数，其结果叫积。那么你能根据刚才发现的规律，说说算式中因数和积的变化情况吗？于是，积的变化规律就水到渠成地总结出来。借助长方形面积与长和宽的关系，理解积的变化规律，发展学生的几何直观的意识，并且在估计中发展学生的空间想象能力。

和代数相比，几何给人以生动、直观的形象。因此，正比例意义的学习，可以借助正比例关系图像的学习，让学生体会正比例图像的特点和作用，加深对正比例意义的认识。教学时，通过数据表在坐标系里描点，连成一条直线，然后通过观察图像，使学生了解从这个图像可以直观看到两个量的变化情况，一个量增加，另一个量随之增大。而且明白利用正比例关系图像，不用计算，可以由一个量的值，直接找到对应的另一个量的值，体会正比例图像直观形象的优势。借助几何直观，揭示研究对象的性质和关系，使思维很容易转向更高级更抽象的空间形式，使学生体验数学创造性工作历程，形成良好的思维品质。

三、运用几何直观，探究计算方法

计算课的教学重点是让学生探究计算方法的过程，理解算理。运用几何直观理解算理更有效。如在教学《分数乘分数》一课时，可以让学生通过画图，将图与式对应起来，深刻地理解算理。先出示例题：“粉刷工人粉刷完一块墙需要5小时，每小时粉刷这块墙的几分之几呢？”指导学生画一个长方形当做墙，学生很容易就表示出每小时粉刷的是这块墙的（如图1）：

四、运用几何直观，分析数量关系

徐利治先生提出，几何直观是借助见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。利用几何图形的直观对问题中的关系和结构进行表述，帮助学生分析问题和解决问题，这是一种非常重要的策略。

如教学《用连除解决问题》时，通过情境图（如图3）引导学生在收集和整理信息的过程中发现要解决“每个小圈有多少人”这个问题还需解决一个中间问题，从而学会用连除解决问题，同时建立起解决这类问题的数量关系的模型，并能解释应用，为后续学习解决此类问题打下基础。因为前一节课是学习用连乘解决问题，学生已经有了从不同角度寻找解决问题的策略经验，所以这节课在学生理解题意后，笔者大胆放手让学生直接尝试用不同的方法解决问题。当学生列出三种不同的算式时，提示他们可以尝试用图解释这三种算式所表示的意义，再引导学生观察直观图比较三种算法之间的联系与区别。随后，笔者又出示类似的题目：有400本书要放在2个书架上，每个书架有5层，每层可以放几本书？要求学生列出算式后用图表示出来，结果他们发现画出的直观图与前一题画出的图是相同的，明白虽然这两道题目的情境不同，总量不同，但题目中蕴含的数量关系的结构是相同的。最后，笔者又问：像这样的图还可以解决怎样的问题？借助几何直观把复杂问题用画图的形式表达出来，是“去情境化”的过程，是一个数学建模的过程，它把情境中的数量关系进行提炼，并且直观表达，然后运用这个数学模型解决类似的问题。这样教学，形象思维由图形带来的直觉，增进学生对数学的理解，增强其创造能力。

在小学“数与代数”的教学中运用几何直观，将抽象的数学语言与直观图形语言有机地结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，实现抽象概念与具体形象的联系和转化。这样教学，有助于加深学生对知识的理解，进而促进学生的数学理解。因此，运用几何直观教学是新教材的要求，是提高学生数学素质的要求。

参考文献：

[1]教育部.义务教育数学课程标准（2011版）.北京师范大学出版社，2012（01）.

[2]周伟萍.关于几何直观的思考.陕西教育（数学版），2013（6）.

[3]张丹.数与代数应用题的内容主线和教学建议.小学数学教师，2010（7、8）.

[4]朱洪霞.几何直观在小学数学教学中的运用.新课程（教研版），2009，（01）.