一道考试题的思考

戴锋

【摘要】 笔者在本文中由一道考试题展开论述，并提出了自己的一些思考。

【关键词】 考试题 教学方法 思考

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2015）04-076-01

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一、问题的提出：

考试题目：求函数y=（cosx+1）（sinx+1）的值域。

高一学生刚学过必修4三角函数的学生，600人参考，能完全解决该题的只有83人，解答的正确率不高。从学生的解答情况看，在解答正确的学生中，大多数用的换元法解决的，而没有解决的学生基本都能化简到y=sinxcosx+sinx+cosx+1（*）。询问做对的同学怎么想到解决问题的方法时，他们中大多数的回答是老师教的，用换元法做。至于为什么这样做？或者怎么想到这样做？他们都讲不清楚。这值得我们老师反思，为什么会出现这样的情况？

笔者和几位老师交流，多数老师在讲解该题时直接告诉学生用换元法，并没有帮学生分析清楚为什么用换元法。大多数老师认为无需多啰嗦，这种题只要记得就行了。那这道题可不可以分析一下解法的来由呢？

二、对问题的几点思考：

思考一：

函数（*）式中出现了sinxcosx和sinx+cosx，从次数上看，sinxcosx是二次，而sinx+cosx是一次，那么函数（*）就是一个矛盾的组合体，如何解决这一矛盾呢？我们还得从他们的次数入手，必须将2个矛盾的部分统一。是统一成一次还是统一成二次呢？经过推敲，很快可以想到，统一成二次比较方便。只需平方即可，再借助于我们熟知的sin2x+cos2x=1，矛盾可以统一。这一思维过程的构建，就是“换元法”的本质所在。

由以上分析，只要抓住主要矛盾，令sinx+cosx=t，平方得到：sinxcosx=t2-12，这样（*）就变成了一个二次函数y=t2-12+t+1，当然t的范围也是一个小小的坎，只要越过这个小小的坎，问题就不在话下了。

思考二：

在解题的过程中，也有不少同学没有想到换元，而是试着把sinx+cosx=2sin（x+π4），将sinxcosx=12sin2x，接下来就做不下去了。那我们能不能沿着这种思路考虑下去呢？考虑到出现了2个不同的角x+π4和2x，倘若我们能将这2个角统一的话就好了。角x+π4和2x有什么关系呢？有！2x+π4=2x+π2，所以函数

y=sin2x2+2sinx+π4+1

=-cos2（x+π4）2+2sinx+π4+1

=2sin2x+π4-12+2sinx+π4+1

=sin2x+π4+2sinx+π4+12

下面问题就转化为二次函数在闭区间上的值域问题，应该不难解决。实际上，在教学过程中，很多教师并没有发现这一“起死回生”的解法，甚至扼杀了让学生寻找变量之间关系的良好机会。所以我们老师讲解这一题时，并不一定要逼着学生往“换元法”上走。以上突破过程，比固定模式的的换元法更有意义，更能让学生留下深刻的印象，也是让学生进行思维提升的良好素材。

思考三：

以上我们拿到式子后就将式子展开，是否一定要展开呢？展开之前有2个式子cosx+1和sinx+1，而展开后出现了sinx，cosx和sinxcosx三个式子，变多了。能不能不展开直接处理呢？式子中出现了sinx与cosx，它们能否统一成同一个函数呢？

我们可以想到万能代换，sinx和cosx这2个异名函数都可以统一成tanx2，即

y=2tanx21+tan2x2+11-tan2x21+tan2x2+1=21+tanx221+tan2x22

不难想到，下面可以用求导求函数的最值，剩下的就是计算了！

三、对我们教学的启示：

以上三种思考体现了对同一问题的不同视角，贯穿始终的就是化归思想。

至此，我们冷静地思考一下平时的教学，我们教师是不是讲得太多，学生参与思维的体验太少了？在教学过程中如何突显学生的主体地位？我们教师如何做一个出色的组织者，引导者，让学生通过亲身经历数学知识的产生过程。从而加深对数学知识的理解。

在平时教学过程中，我们有没有在新课程理念的指导下组织教学。对于那种“灌输式”、“填鸭式”教学，学生依然是被动式接受，学生并不能从数学学习中体会到数学的本质，而是一种死记硬背式的学习，这并不符合建构主义的认知规律。这就意味着我们教师要从关注教学内容的结论性向关注知识生成的过程性上转变，教师应该通过合理的数学活动让学生在其最近发展区感悟数学知识的生成，这样的数学教学活动才能使学生留下深刻的印象。

作为老师，我们要帮组学生从“死胡同”里走出来或者越过去，这个过程需要老师的正确引导，需要师生的共同分析。这一过程处理得好，可以激发学生的学习动机，塑造学生良好的思维品质，培养学生的创新能力。