深化“情景”，提高数学学习能力

李良军

[摘 要] 本文认真研究了农村学校学生在数学学习能力上存在的问题和困难，就如何提高学生的学习能力作出研究，提出将易忽视的、规律性的数学问题“情景”化，通过情景赋予数学知识灵魂，从而为学生的自主学习打下基础.

[关键词] 学习力；公理；文化；情景化

随着新课程改革的不断深入，新课程所倡导“自主、合作、探究”的基本理念已经深入到教学的各个环节，一方面旨在改变学生的学习方式，另一方面在于转变教师的教学观念. 很多学校对如何提高学生的学习能力作出有效的探索，如昆铜中学的“先学后教，以学定教”小组合作模式，山东杜郎口中学践行学生主体地位而摸索新创的“三三六”自主学习高效课堂模式等. 无论哪种教学模式，其实都是在践行新课程改革中转变教学方式的要求.

为进一步深化教学改革，县教研室提出了“转变学习方式，提升学习能力”的课改方向. 笔者为了积极参与教研室的课堂教学改革，在教学上作了大胆的实践探索.

为了了解学生数学学习的相关情况，特设计了以下几个问题，对学生作了问卷调查.

数学学习情况调查卷

1. 你对学习数学感兴趣吗？

A. 感兴趣

B. 不感兴趣，数学知识太枯燥

C. 不感兴趣，数学方法技能太难掌握

D. 其他（如：_________________）

2. 你觉得当前学习数学的主要困难在哪里？

A. 基础太差，完全听不懂

B. 老师上课太快，跟不上节奏

C. 上课能听懂，但课后自己又做不来

D. 其他（如：_________________）

3. 为了学好数学，你打算怎么办？

A. 上课认真听讲，多做多练

B. 多向老师、同学请教

C. 平时多积累数学方法和技能

D. 其他（如：_________________）

4. 你觉得数学学习对你最有帮助的是什么？

A. 没有帮助

B. 锻炼我的思维能力

C. 对日常生活有帮助

D. 对学习其他课有帮助

5. 你在学习数学时遇到困难怎么办？

A. 向老师请教

B. 向同学请教

C. 上网查资料

D. 放弃

通过问卷调查，经整理后发现农村中学生在学习数学时有以下几个方面的问题：

（1）学习力的第一要素是学习的动力，而兴趣是学习最好的老师. 通过对第一个问题的分析（图1）发现，农村中学生对学习数学的兴趣普遍不大，其中不感兴趣的主要原因是学生认为数学知识枯燥、乏味，公式繁多、计算繁复、逻辑推演晦涩难懂，花的时间不少，但考试效果总是不佳.

（2）学习的能力是学习力的一大要素. 从学生对第二个问题的回答（图2）可以发现，有55%的学生存在上课能听懂，但自己做不了题的情况，这说明学生的学习能力有很大的欠缺，主要原因在于对基本概念、定理模糊不清，不能用数学语言准确地表达概念、公式、定理，知识与问题之间联系不起来，不知道如何运用已有的知识去解决问题. 学习力还表现在学习方法上，从学生对第三个问题的回答（图3）可以发现，学生在学习方法上大多倾向于多做多练，有45%的学生认为要多做多练，有33%的学生会向他人请教，而只有12%的学生觉得要从平时的学习中去积累数学方法和技能，学习方法上存在一定的盲目性.

（3）学习的毅力也直接影响着学习力. 从学生对第四个问题的回答（图4）可以发现，学生对学习数学的目的性有着清醒的认识，有90%左右的学生认为数学学习能锻炼自己的思维，且对学习其他学科有帮助. 初中阶段的数学课程对学生抽象逻辑思维能力的要求有了明显提高，处于由直观形象思维为主向抽象逻辑思维为主过渡的关键期，没有形成比较成熟的抽象逻辑思维方式，而且学生个体差异也比较大，有的抽象逻辑思维能力发展快一些，有的则慢一些，因此表现出数学学习接受能力的差异. 从学生对第五个问题的回答（图5）可以发现，学习中遇到问题，有80%左右的学生会向同学和老师请教，而只有10%左右的学生选择自己思考，这对学生思维能力的提高不利. 从中可以发现，学生对学习数学缺少毅力，遇到困难不能积极主动地去探求.

综上可知，进入初中以后，与小学阶段的学习相比，初中数学难度加深，且教学方式的改变、逻辑性的加强使得很多学生害怕数学，明明很简单的问题，就是不知从何下手. 在掌握数学知识的技能、技巧方面，新的技能、技巧形成都必须借助已有的技能技巧，而很多学生往往是因为已有的经验和技能技巧与要学的新知识脱节，从而造成对新知识的不理解，所以，在平时的教育教学中，笔者经常思考如何才能使学生对所要掌握的经验和技能技巧加深理解与记忆.

教育学认为亲身经历的或感受到的知识，理解和记忆的效果是最佳的. 所谓“情景”，即感情与景色，情景交融，有景和情感的体验有利于学习力的加强. 数学知识不可能每一项都去亲身经历，很多数学问题有较强的逻辑性，需要一定的逻辑思维能力和空间想象能力，所以，笔者在想，能否给这些数学知识设定一定的“情景”，以激发学生的学习兴趣. 下面就如何在数学学习过程中，对数学知识赋予一定的“情景”，提升学习数学的能力谈谈自己的做法.

给基本几何公理赋予故事情景，加深对几何公理的认识和应用

如“两点之间，线段最短”是初中平面几何的基本公理之一，可以给出图6，并询问图中虚线所示的路是如何形成的？为什么人们要这样走？学生根据平时的生活经验，很容易达成共识：从点A到点B沿连接两点的线段走，最近. 而我们将其转化为数学问题，即如图7所示，在连接A，B两点的所有连线中，线段最短，简称为“两点之间，线段最短”.endprint

这个公理很简单，也很容易理解，但这个公理在后面的学习中有着巨大的应用，如这个公理可以直接应用在三角形三边关系的证明中，即“在一个三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”. 如图8所示，根据公理易得从点B到点C沿线段a走肯定比沿折线b+c走近，于是可得b+c>a，同理可得a+c>b，a+b>c，变形可得a-b

从“两点之间，线段最短”到“三角形的三边关系”，学生较易理解，但如果涉及具体的问题，学生就不易形成解题思路. 下面就如何应用公理和定理来解决具体问题，如何为公理赋予情景，谈谈自己的想法.

案例1 （2009湖北鄂州中考）如图9所示，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取得最小值时，△APD中边AP上的高为多少？

分析 本例中关键的问题是当点P运动到何处时PA+PD最小，只有确定了点P的位置，才能求AP边上的高. 如何确定点P的位置，思路很难形成，很多学生会感到无从下手，其实本例就是利用“两点之间，线段最短”这个公理来解决的. 为了解决这个问题，我们可以先将其中的PA+PD的长度从问题抽取出来，将BC看作一条直线，A，D看做是直线外同侧的两点，如图10所示，即在直线BC上找一点P，使它到直线外同侧两点的距离之和最小.

要解决这个问题其实很简单，方法如下（如图11）：

（1）过点A作关于直线BC的对称点A′；

（2）连接A′D，交直线BC于点P，则点P就是所求的点.

理由：若所选的点不在上述作法的P点处，如图12所示，若点在P′处，由对称性得P′A=P′A′，PA=PA′，则P′A+P′D=P′A′+P′D>A′D=A′P+PD=PA+PD，即P′A+P′D>PA+PD，所以当点在上述所作的点P处时，PA+PD最小.

案例1的原理是根据“三角形任意两边之和大于第三边”，但实际是运用了“两点之间，线段最短”这个公理.

有了以上结论，要解决案例1就易如反掌了，即如图13所示，只要找到点A关于直线BC对称的点A′，并连接DA′交BC于点P，此时PA+PD取得最小值. 再根据已知条件易得BP是△A′AD的中位线，则可得BP等于AD的一半，即BP=1，BP的长确定后再利用面积即可得AP边上的高.

有很多老师对这个最值问题做了研究，也有老师找了很多的方法，通过分析学生很容易理解，讲了以后学生也能做，但将它融入其他元素后，受到图形或其他条件的干扰，遇到类似的问题就又不知从何下手. 所以，为了让学生理解和掌握这类问题，笔者在平时的教学过程中对利用“两点之间，线段最短”这个公理解决这一类问题赋予一个故事情景，称之为“将军骑马饮水”问题：如图14所示，很久以前，一位古希腊的将军早上从营房A处出来，骑马到河边（把河看作直线l）让马饮水，然后到训练场B处训练，问在河边的什么地方让马饮水才能使所走的路程最短？

将这个简单的公理赋予一个故事化的情景，学生非常感兴趣，也觉得我们的数学公理有了实际意义，这样，学生下次遇到这类问题，首先会记起这个故事情景，从而回忆起解决问题的方法. 无论题目如何变化，只要把握问题的实质（即在直线上找动点到两个定点的距离之和最小），将这个基本图形从问题中抽离出来，难题也就迎刃而解了. 下面两个案例虽然融入其他元素，但有了这个情景，学生在看到题目时很容易将其从题中分离出来，从而找到解题方法.

分析 此题将问题套上了圆这个图形的“壳”，学生在思考时总是在考虑用圆的知识来解决这个问题，这样一来就容易走入“歧路”. 其实，将其中的主要元素剥离出来，直径MN可看作直线，即在直线上找一点使其到圆上两定点距离之和最小，看清这点后我们就可以用“将军骑马饮水”来解决. 如图16所示，过点B作直径MN的垂线，交⊙O于点B′，连接AB′交MN于点P，再利用圆的轴对称性，可得点B′是点B关于MN的对称点，则此时点P到A，B的距离之和最小，PA+PB=PA+PB′=AB′，连接OA，OB′，根据已知条件易得∠AOB=90°，再利用勾股定理就可求得AB′的值.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上，是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.

分析 本例是2013年泸州中考的压轴题，涉及二次函数等知识，综合性较强，其中第（2）问是在抛物线对称轴上找一点C，使得△BOC的周长最小，通过分析可知，点O和点B为定点，即BO的长不变，当OC+BC取得最小值时，△BOC的周长也取到最小值，于是题目转化为“将军骑马饮水”问题，只要找到点O或点B关于抛物线对称轴对称的点即可. 根据抛物线的对称性发现，点O关于抛物线对称轴对称的点为A，则连接AB与抛物线对称轴的交点即为所求的C点.

将数学知识赋予“文化”情景，以深厚的文化背景赋予数学知识以灵魂

中国文化源远流长，我们是文明古国，有着悠久的历史和灿烂的文化，在数学上也有着杰出的成就. 在学习数学时，若能多了解和应用一些我国古代的数学成就，一方面能增强学生的自豪感，另一方面能激励学生学习.

九年级上册3.2节圆的轴对称性（2）中，其中例3计算了赵州桥拱形所在圆的半径，我发现很多学生在计算涉及半径、矢高、弦长和弦心距问题时，比较盲目，所以笔者就以“赵州桥”为情景，首先介绍赵州桥的有关知识，激发学生的学习兴趣. 赵州桥坐落在河北省赵县洨河上，建于隋朝，由著名匠师李春设计和建造，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完善的古代敞肩石拱桥. 赵州桥的设计构思和工艺的精巧，不仅在我国古桥首屈一指，据世界桥梁的考证，像这样的敞肩拱桥，欧洲到19世纪中期才出现，比我国晚了一千二百多年.

其次，有了赵州桥这个文化情景作铺垫，再寻找这类问题的解决途径，笔者将“赵州桥”问题解决途径概括成“一个中心，两条道路”. 如图18所示，为了说明方便，将涉及的四个量分别用字母表示，半径为r，弦心距为d，弦长为l，矢高为h，易得四个量之间的关系：

（1）r=h+d（小于半圆的拱形）或r=h-d（大于半圆的拱形）；

利用以上两个关系式，在这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求其他两个量. 圆中有很多涉及这几个量计算的问题，也即是垂径定理在圆中计算的直接应用.

解决“赵州桥”问题的一个中心，即必须牢牢把握以半径、半弦和弦心距为边所构成的直角三角形为中心，最终的计算要在这个直角三角形中用勾股定理来解决.

解决“赵州桥”问题的两条道路：第一条是“直接”道路，只要已知的两个量不是矢高h和弦长l，则根据四个量之间的关系就可以得到直角三角形中两条边的长度，可利用勾股定理直接计算出另外两个量.

第二条是“间接”道路，走间接道路时已知量肯定是矢高h和弦长l，如课本例3的问题，由于在直角三角形中，半径r和弦心距d两个都是未知量，所以需设其中一个为x，利用勾股定理列方程解决.

“赵州桥”问题只要明确了“一个中心，两条道路”，遇到问题时就有了方向性，寻找解题途径也就有了目的性，下面我们就利用这个情景来解决案例4.

案例4 （2011浙江衢州中考）如图19所示，木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r，用角尺的较短边紧靠⊙O，并使较长边与⊙O相切于点C，假设角尺的较长边足够长，角尺的顶点为B，较短边AB=8 cm，若读得BC的长为a cm，则用含a的代数式表示r为______.

分析 本题改编自浙教版九年级下册“3.1 直线与圆的位置关系（3）”例4，本题中BC的长为a cm，即BC的长未知，则应分两种情况讨论：

①当0

将某些解题过程中常用的技能技巧赋予“情景”，提高解题能力

在数学解题过程中，很多实用而简单的技能技巧有助于提高解题能力. 一个好的数学老师往往会非常重视这些技能技巧的传授，如在列方程问题中，经常会遇到如案例5的两种情况，学生易将两种情况弄混.

案例5 （1）（2011甘肃兰州中考）某校九年级学生毕业时，每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张留作纪念，全班共送了2070张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为（ ）

A. x（x-1）=2070

B. x（x+1）=2070

C. 2x（x+1）=2070

（2）在一次同学聚会上，参加的每个人都与其他人握手一次，共握手190次，设参加这次同学聚会的有x人，可得方程（ ）

A. x（x-1）=190 B. x（x-1）=380

C. x（x-1）=95 D. （x-1）2=380

建构主义认为，学习者要想完成对所学知识的意义建构，即达到对该知识所反映事物的性质、规律以及该事物与其他事物之间联系的深刻理解，最好的办法是让学习者到现实世界的真实环境中去感受、去体验. 而一个有意义的“情景”，有利于学生对知识的理解和掌握，有利于学生提高自身的学习力. 但笔者在实际教学中也发现，并非用得越多越好，还应遵循一定的规律.

第一，“情景”的设定宜精不宜多，过多的“情景”设定，会使学生造成“情景”疲劳，从而降低 “情景”对学生的刺激. 我们应针对平时易忽略的定理和公理，或经常使用的技能技巧等规律性的问题去设定“情景”.

第二，对学生影响深刻的“情景”会对学生的学习产生思维定式. 学生遇到类似问题往往会按照习惯性思维去解决，不易发挥学生的灵活性. 如在案例2中，得到PA+PB的最小值即弦AB′时，若不是连接OA，OB，而是用“赵州桥”问题去构造直角三角形来求弦长（如图22），就有可能造成已知条件和要求的结果之间的一个脱节. 所以，在利用“情景”来强化和规范学生的解题思路时，既要认识到有利的一面，也要注意克服不利的一面，当所呈现的条件不满足或不适合“情景”时，不要生搬硬套，而应跳出“情景”，另寻解题思路.

皮亚杰认为，“主体所完成的一切建构都以先前已有的内部条件为前提”. 知识“情景化”能有效巩固“先前已有的内部条件”，激发学生学习的动力；通过规范解决问题的思路，能有效降低思维难度，提高学习能力，获得成功体验，从而增强学习毅力. 学生反映，遇到类似的问题很容易回忆起情景，从而寻找解题途径，但如何设置更加符合知识的有效“情景”，需要我们在今后的教育教学中不断探索.