SSA特例的几点思考与收获

朱国庆

设计理念

从意外获得启发，向学生提供了一个充分从事数学活动的机会.激发学生的学习动机，唤起求知欲，帮助他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本数学知识与技能，培养学生创新精神和实践能力，享受学习的快乐.

教学流程

一、课前准备

作图工具准备：直尺，三角尺，圆规，铅笔，橡皮等

几何知识准备：全等三角形的意义和性质，作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角等.

二、引入、新授、鞏固

教师：先请同学们在课堂练习本上用直尺随意画一个△ABC，不论边的长短，不论角的大小.”

板书：作△A1B1C1，使得A1B1=AB，∠B1 = ∠B，B1C1 = BC.

这些对于学生来说并非一件难事.因为△ABC的形状已经事先摆出，比起下一节的作三角形，难度降低不少.而作一条线段等于已知线段是七年级的内容，学生掌握良好；作一个角等于已知角，

学生甲的作法：作∠B1 = ∠B，作线段A1B1 = AB，B1C1 = BC.△A1B1C1就是所求作的三角形.

在完成巩固练习之后，通过课内练习3强调SAS条件夹角的重要性.照旧要通过一个反例说明问题，然而出乎意料的是，原本平淡无奇的举例因为两名学生的意外图形再度令整个教学异彩纷呈，满室生辉.

三、反 例

如果两个三角形有两边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等吗？

教师提示：SAS条件说，两边必须是夹这个角的两边，不然又会怎么样呢？请同学们再来用尺规作△A1B1C1，使得∠B1 = ∠B，A1B1 = AB，C1A1 = CA.

板书：作△A1B1C1，使得∠B1 = ∠B，A1B1 = AB，C1A1 = CA.

学生乙的作法：作∠B1 = ∠B，A1B1 = AB.以A1为圆心，CA长为半径作圆弧交∠B1的另一边于C1，D1. △A1B1C1与△A1B1D1都是所求作的三角形.

教学反例的成功构造不仅要求学生对真命题本身能牢固掌握，而且要求有广泛全面的思考问题能力，因此对大多数学生来说困难不小.正是由于学生对这两种作图的疑惑，让我意识到对反例的说明不能如原先打算一般轻描淡写，翩然收场，而是需要作进一步的深入.

四、特殊全等

SSA命题叙述：如果两个三角形有两边和其中一组对应边的对角对应相等，那么这样的两个三角形全等.

学生丙的作法：作∠B1 = ∠B，作线段B1A1 = BA.以A1为圆心，AC长为半径作圆弧与∠B1的另一边只相交于一点C1.△A1B1C1就是所求作的三角形.△A1B1C1 ≌ △ABC.

圆弧与∠B1的边只产生一个交点（切点），完全缘于△ABC的特殊性.我让学生观察学生丙的图形，并且提出了这样一个要求：请同学们观察思考∠ACB与∠A1C1B1的度数！

学生们发现这两个角都是直角.

教师：这名同学非常聪明，想出了SSA的特殊全等条件.但是大多数同学的图形中，圆弧与∠B1的边都有两个交点.因此符合作图条件的三角形有两个.请问得到的两个三角形是不是都和全等呢？

学生：一个和△ABC全等，另一个和△ABC不全等.

教师：那么就请同学们回忆一下，三角形按内角大小可以分为哪几种类型？

学生：锐角三角形，直角三角形和钝角三角形.

教师：同学们已经知道SSA条件下的两个三角形不一定全等.但是通过刚才的观察，我们发现只要对两个三角形的类型附加条件，它们就能全等.谁能来总结一下？

我分别请三种三角形的同学给出结论.

SSA全等方案1：如果两个三角形都是锐角三角形（直角三角形，钝角三角形），那么SSA成立.

学生丁的作法：作∠B1 = ∠B，作线段B1A1 = BA.以A1为圆心，AC长为半径作圆弧与∠B1的另一边交于C1，与∠B1的这一边的反向延长线交于D1.只有△A1B1C1是所求作的三角形.△A1B1C1 ≌ △ABC.

同学们发现，作图效果如学生乙的（圆弧与角的边的两个交点都在射线上） BA > AC，B1A1 > A1C1，作图效果如学生丁的（圆弧与角的边的交点分别在射线和射线的反向延长线上） BA < AC，B1A1 < A1C1.

SSA全等方案2：如果两个三角形中这个角的对边是两边中的较大边，那么SSA成立.

教师：把△ABC中的∠B设计成直角和钝角，然后按SSA的要求画△A1B1C1……

学生戊的作法：作∠B1 = 90°，B1A1 = BA.以A1为圆心，AC长为半径作圆弧交∠B1的另一边于C1，交这一边的反向延长线于D1.△A1B1C1和△A1B1D1都是所求作的三角形.

△A1B1C1 ≌ △ABC，△A1B1D1 ≌ △ABC.

SSA全等方案3：如果两个三角形的这个对角都是直角，那么SSA成立.

这个方案相当于以后判定直角三角形全等的HL定理.

学生己的作法：作钝角∠B1 = ∠B，作线段B1A1 = BA.以A1为圆心，AC长为半径作圆弧与∠B1的另一边交于C1，与∠B1的这一边的反向延长线交于D1.△A1B1C1就是所求作的三角形.△A1B1C1 ≌ △ABC.