基于APOS理论下的初中“函数”概念的教学设计

李璐华

【摘要】 笔者在本文中以北师大版八年级上册第4章第1节《函数》一课为例，浅谈在APOS视角下的数学概念教学设计。

【关键词】 APOS理论 初中 函数概念 教学设计

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2015）02-86-01

数学概念是形成数学知识体系、构建数学理论大厦的基石，是导出数学定理和数学法则的逻辑基础，是进行判断、推理的依据，是形成数学知识体系的基本要素。数学课程标准在课程目标中指出，要让学生获得必要的基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学本质。但是目前，在初中数学概念教学中，有两种倾向：一是大多数教师习惯采用的概念同化教学方式，这种传统的教学方式偏重概念的逻辑结构，学生对数学概念的学习是靠教师直接或间接的代替而进行的块体验、抽象，容易造成一部分中等生和学困生对概念理解不深；二是进行大量“去数学化”的实验探究，忽略了对思维的锻炼，结果整节课下来，学生对概念的内涵不能了解透彻。

1 教学背景

《函数》是2013北师大版8年级数学上册第4章第1节的内容。学生七年级上册学习了《用字母表示数》，体会了字母表示数的意义；在七年级下册已学习了《变量之间的关系》，对变量间互相依存的关系有了一定的认识，为学习《函数》知识打下了一定的基础。教材中从具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出函数的概念，然后让学生分析了大量的实际问题，感受表示两个变量之间关系的方式是多样的，如列表法，图像法，解析式法，但都有着共性：其中一个变量依赖于另一个变量。函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，对它的学习一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。本节内容让学生初步体会函数的概念，为后续学习打下基础。同时，函数的学习可以使学生体会到数形结合的思想方法，感受事物是相互联系和规律的变化。

2 教学目标

知识与技能目标：初步掌握函数概念，能判断两个变量之间的关系是否可以看作函数；根据两个变量之间的关系式，给定其中一个变量的值相应的会求出另一个变量的值；会对一个具体实例进行概括抽象成为函数问题。

3 教学重难点

教学重点：掌握函数概念，会判断两个变量之间的关系是否可以看作函数。

教学难点：理解函数的概念，能把实际问题抽象概括成函数问题。

4 APOS理论下的教学过程

4.1第1阶段：活动阶段（Action）

[活动1]问题1：游乐园中的摩天轮

（1）如果你坐在摩天轮上，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？

右上图反映了旋转时间t（分）与摩天轮上一点的高度h（米）之间的关系。

（2）从图象上，你能读出哪些信息？

（3）对于给定的时间t，相应的高度h确定吗？

根据右上图进行填表（如表1所示）：

首先由学生分组讨论完成，然后相互交流。

4.2第2阶段：过程阶段（Process）

[活动2]探讨：以上三个问题中的共同点是什么？不同点又是什么？

生：相同点是，这三个问题中都研究了两个变量。不同点是，在第一个问题中，是以图象的形式表示两个变量之间的关系；第二个问题中是以表格的形式表示两个变量间的关系；第三个问题是以关系式来表示两个变量间的关系的。

4.3第3阶段：对象阶段（Object）

[活动3]归纳揭示函数的概念：

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量。

归纳出函数概念后，留几分钟时间给学生消化理解概念，并提出自己不理解的地方，教师再提出：

（1）上面问题中的自变量和因变量是什么？

（2）你能举出生活中是函数的例子吗？

（3）你是怎样理解“确定”这两个字的含义的？

学生分组讨论交流，教师点评总结：理解函数概念应把握三点，一个变化过程；两个变量；对于一个变量的每一个值，另一个变量都有唯一的值与它对应，即是一种对应关系。判断两个量是否具有函数关系就以这三点为依据。

4.4第4阶段：图式阶段（Scheme）

通过前三个阶段，学生对函数的概念以及常用的三种表示方式有了一定的理解。本阶段主要通过练习巩固，让学生根据所学的新概念，自主建立函数的心理图式，对两个变量之间的关系、函数的概念以及函数的三种表示法构建出自己的“图式网”；进而，让学生知道本课主要学习内容是什么，如何应用来解决问题，这节课学到了什么知识。

5 APOS理论应用于概念教学的几点思考

5.1理解数学，于过程中生成概念

“函数”的概念在历史上经历了二百多年、三次修正的过程，才归纳、总结、抽象、概括为现行初中课本中函数的概念，“函数”概念是初中数学最抽象、学生最难学的内容。因此，北师大版教材的编者在编写教材时，也从分考虑到让学生参与函数概念形成的全过程，把传授知识与培养能力两个目标结合起来。

5.2理解学生，从过程中体验概念

学生是学习过程的主体，“APOS理论”强调学生的学习是一个主动建构的过程，每个学习者都以自己原有的认知结构为基础对新的信息进行编码，构建自己的理解；函数是学生进入初中以来第一次碰到的内容，且概念本身具有高度的抽象性，学生理解和熟悉概念相当的困难。

5.3理解教学，在操作中建构概念

学生对于数学概念的掌握不可能一蹴而就，而是一个从感知到掌握的循序渐进的过程。特别是“函数”这个贯穿于整个中学阶段的核心概念，它的教学更应该采用螺旋式的循序渐进的方式。“APOS理论”揭示了概念形成的规律性和学生的认知规律。在这个教学设计中，通过几个与函数相关的生活中的实例来归纳它们的共同本质特征，符合学生的认知规律，能让学生体会到函数来源于生活，又服务于生活。