基于倾向性的直觉模糊相似度量方法

王 毅，刘三阳，程月蒙，余晓东

（1．西安电子科技大学数学与统计学院，陕西西安710071；2．空军工程大学防空反导学院，陕西西安710051）

基于倾向性的直觉模糊相似度量方法

王 毅1，2，刘三阳1，程月蒙2，余晓东2

（1．西安电子科技大学数学与统计学院，陕西西安710071；2．空军工程大学防空反导学院，陕西西安710051）

针对现有直觉模糊相似度量所存在的不足，提出一种基于倾向性的直觉模糊相似度量方法。首先，基于直觉指数所表征的中立证据中支持与反对的程度呈均衡状态假设，揭示了影响直觉模糊集相似性大小的3个相互作用因素之间的内部关系，给出了相似度量的几何表示。其次，对现有部分相似度量方法在某些情况下无法表述的问题进行了分析，定义了满足直觉模糊相似性的直观约束条件，给出一种直觉模糊相似度量的公理化定义。再次，揭示了直觉指数对证据的倾向性影响，提出了一种基于倾向性的直觉模糊相似度量方法。最后，通过算例分析比较，验证该方法的正确性、合理性、有效性。

直觉模糊集；相似度量；直觉指数；倾向性

0 引 言

Zadeh在1965年提出了模糊集理论，其核心是利用隶属度函数来描述支持和反对的信息。但客观世界中往往不仅呈现对模糊概念的支持与反对信息，还应体现出介于支持与反对之间的踌躇性。如投票模型中有支持与反对两个方面，且有中立的情况发生。这类问题用模糊集是无法处理的。直觉模糊集（intuitionistic fuzzy set，IFS）作为模糊集的一种拓展，它增加了一个非隶属度函数，可以表示支持、反对和中立3方面的信息，可以很好地解决此类问题［1］。由此引起国内外学者广泛研究，并成功应用于诸多领域［26］。

作为IFS核心理论之一的相似性度量，国内外学者进行了不同方面的研究［7-16］。文献［7］给出了一个直觉模糊相似度量的公理化定义，但条件过于宽松。文献［8］对文献［7］进行分析并给出了修正方法。随后，文献［11］通过求解最优属性权重，给出了一种新的相似度量方法。文献［13］针对文献［10］进行了分析，发现该算法在度量多个相近数组时，区分能力较弱。此外，文献［16］从熵的角度研究了相似度量问题，文献［15］从Vague集特征的不确定性角度讨论了相似性度量求解方法，文献［16］从Sugeno积分的角度给出了一种新的相似度量方法并应用于模式识别。从已发表的研究成果可以看出，许多学者从不同角度对直觉模糊相似度量方法进行了研究［7-12，1416］，但在其度量过程中忽视了直觉指数对隶属函数的倾向性影响，丢失了部分信息，降低了匹配精度。而文献［13］虽然考虑了直觉指数的倾向性影响，但在某些情况下所得结论却与实际不符。由此，本文将从直觉指数对隶属函数的倾向性影响角度出发，提出了一种基于倾向性的直觉模糊相似度量方法，该方法综合考虑了隶属度函数、非隶属度函数、犹豫度函数以及直觉指数对隶属函数倾向性影响这4部分信息，进而解决在度量两个知识模式时信息不丢失的问题，并通过典型数据验证了方法的有效性和适用性。

1 直觉模糊相似度量的几何表示

文献［6］给出了直觉模糊熵的构造方法，借鉴其思路，将直觉模糊熵的几何表示拓展到直觉模糊相似度量中。

在匹配两个IFS的相似度时，不仅要匹配两个IFS的熵的相似度，即未知的信息量π（x），还要匹配两个IFS的已知信息的相似程度，即隶属度μ（x）和非隶属度γ（x）。从而才能更加精细地刻画两个IFS之间的相似程度。如A＝｛μA（x），γA（x）｜x∈X｝，B＝｛μB（x），γB（x）｜x∈X｝。当｜μA（x）－μB（x）｜很小，｜πA（x）－πB（x）｜很大时，两个直觉模糊相似度S（A，B）较小；特别地，当1－μA（x）＝1－μB（x）＝0，时，即犹豫度πA（x）＝πB（x）＝0时，有S（A，B）＝0。此时，IFS退化为非模糊集。此外，当｜μA（x）－μB（x）｜很小，｜πA（x）－πB（x）｜很小时，两个直觉模糊相似度S（A，B）较大；当｜μA（x）－μB（x）｜＝0，｜πA（x）－πB（x）｜＝0时，两个直觉模糊相似度S（A，B）完全相似。我们也可以这样认为当｜πA（x）－πB（x）｜→0，点μA（x），μB（x）离直线L［μA（x）－μB（x）］＝0越近，精确相似度S（A，B）值越大，表明两个直觉模糊集A，B越相似，反之越小，如图1所示。

图1 直觉模糊相似度的几何表示

由图1可知，在三维空间MON中，A，B为空间内任意两点。当A（x）→π轴时，｜μA（x）－μB（x）｜→0，｜πA（x）－πB（x）｜→1时，则直觉模糊集S（A，B）较小；当A（x），B（x）→π轴时，｜μA（x）－μB（x）｜→0，｜πA（x）－πB（x）｜→0时，则直觉模糊集S（A，B）较大。此外，在等边三角形MON，过O点向MN线段作垂线交于P点，则线段L为等边三角形MON的中垂线，当点A（x），B（x）→L，亦即点μA（x），μB（x）离直线L［μA（x）－μB（x）］＝0越近，精确相似度S（A，B）值越大，表明两个直觉模糊集A，B越相似。

2 新的直觉模糊相似度量方法

2.1 现有直觉模糊相似度量的问题

为了简便起见，以下记μx表示μA（x），γx表示γA（x），μy表示μB（y），γy表示γB（y）。现将现有关于研究直觉模糊相似度量的方法列举如下：

文献［7］给出的直觉模糊集A，B之间的相似度量公式为

式中，S（x）＝μx－γx；S（y）＝μy－γy。

文献［8］通过两个IFS中隶属度函数与非隶属度函数之和的一半来度量两个直觉模糊相似度的大小，即

在此基础上，文献［9］分析了SC与SH方法的缺陷，给出了一种新的解决方法为

文献［10］给出了一种新的相似度量方法为

文献［11］针对上述方法，对相似度量给出公理化定义，并对此提出了式（15）。

式中

文献［12］分析了文献［11］的不足，给出一个修正公式为

式中

文献［13］中考虑了支持、反对和中立3方面的信息，给出一种具有偏好信息的相似度量方法为

文献［14］分析了熵与相似度量的关系，给出了一种基于熵的相似度量方法为

文献［15］给出了一种基于特征不确定性建模的相似度量求解方法为

文献［16］给出了一种新的直觉模糊相似度量方法并用于模式识别，即

根据直觉模糊相似度量的几何表示对文献分析发现，若x＝（0，0），y＝（0.5，0.5），则有SC（x，y）＝1，SDC（x，y）＝1。当直觉模糊相似度为1时，这表明x与y是完全相似的，但x≠y，说明SC与SDC不合理，即在x和y中直觉指数所表征的中立证据中支持与反对证据呈均衡状态时，式（1）和式（5）所得结果与实际不符；若x＝（0.4，0.2），y＝（0.5，0.3），SEp（x，y）＝1，即在x和y中直觉指数所表征的中立证据中支持与反对证据之差呈均衡状态时，式（8）所得结果与实际不符。特别地，当进行两个IFS相似度量时，若想要得到的相似度量值比较精确，则应该考虑到直觉指数对中立证据中支持与反对的倾向性影响，当计算（0.4，0.2）与（0.3，0.3）的相似度时，SC、SH、SO、SL、SDC与SHB的相似度均为0.9，这表明以上公式均没有考虑直觉指数的倾向性影响。SHW虽然考虑了直觉指数对证据的倾向性影响，使其在计算相似度时的分辨能力大大提高，但仍存在某些不足。如比较（0.4，0.2）与（0.3，0.2）、（0.4，0.2）与（0.3，0.3）的相似度时，可以直观地看出（0.4，0.2）与（0.3，0.2）的相似度应该大于（0.4，0.2）与（0.3，0.3）的相似度，但SHW计算出的相似度却恰恰相反，这显然与实际不符，表明文献［13］所给具有倾向性的相似度量方法，在某些情况下，仍然是不满足人们直觉的。

通过上述分析，可以得出文献［7－15］在某些情况下存在以下无法表述的问题：（1）直觉指数所表征的中立证据中支持与反对的程度呈均衡状态时，SC与SDC无法表述；（2）直觉指数所表征的中立证据中支持与反对的程度之差呈均衡状态时无法表述；（3）直觉指数所表征的中立证据对支持与反对证据具有倾向性时，SC，SH，SL，SO，SDC，SHB，均无法表述。

2.2 直觉模糊相似度量的公理化定义

针对上述文献在某些情况下存在无法表述的问题，依据文献［11］所给出的相似度量一般定义并结合直觉模相似度量的三维表示以及直觉指数对隶属度函数的倾向性程度，对基于倾向性的直觉模糊相似度量进行重新定义。

定义1 称函数S：IFSS（X）×IFSS（X）→［0，1］为直觉模糊集A和B之间的相似度量，如果其满足如下约束条件：

约束1 0≤S（A，B）≤1；

约束2 若αA＝αB，βA＝βB，则S（A，B）＝1当且仅当A＝B；

约束3 S（A，B）＝S（B，A）；

约束4 S（A，B）＝0当且仅当μA（xi）＝［0，1］，γA（xi）＝［1，0］或μA（xi）＝［1，0］，γA（xi）＝［0，1］；

约束5 若A⊆B⊆C，则S（A，C）≤min［S（A，B），S（B，C）］。

则称S（A，B）是直觉模糊集A，B之间的相似度量。α，β表示直觉指数对支持和反对证据的倾向性程度。

2.3 基于倾向性的直觉模糊相似度量

文献［7- 15］从不同角度研究了相似度量方法，虽然给出的方法都满足相似度量的基本准则，但在考虑影响相似度量的因素时，都存在不足之处。以投票模型为例，假设有10人投票，其中4人赞成，4人反对，2人弃权。那么下一次投票中，这2人是投赞成，还是反对或者仍然弃权，则存在一个犹豫度的倾向性问题。对此受到启发，将犹豫度πx进一步细化为3个部分（μxπx，γxπx，πxπx），于是元素x隶属情况用隶属度、非隶属度与犹豫度分别表示为（μx，γx，πx）＝（μ′x＋απx，γ′x＋βπx，πxπx），并提出一种基于倾向性的直觉模糊相似度量方法。

定理1 设

则两个直觉模糊相似度量S（A，B）为

式中

将式（11）扩展为

式中，α，β表示对元素xi中直觉指数对支持和反对证据的倾向性程度，α，β∈［0，1］且α＋β＜1。

证明

约束1 因为

则有

于是有－1≤（αA－βA）πA（xi）≤1。从而可以得出S（A，B）∈［0，1］。

约束2 因为

又因为

所以

即A＝B。

约束3 S（A，B）＝S（B，A）是平凡的。

约束4 因为S（A，B）＝0⇔∀xi∈U，

或

于是有πA（xi）＝πB（xi）＝0。又因为

所以μA（xi）＝μ′A（xi），γA（xi）＝γ′A（xi），同理，μB（xi）＝μ′B（xi），γB（xi）＝γ′B（xi）。于是有A＝［1，0］，B＝［0，1］；或A＝［0，1］，B＝［1，0］，即A，B为非模糊集。

约束5 为了简便，设

因为A⊆B⊆C⇔

所以

于是有

所以

3 算例分析

以下通过现有的10种方法与本文所给方法（记为S*）进行比较，并通过典型数据样本［8－15］，对其分析进而验证本文方法的正确性与有效性，如表1所示。在这式（12）中，α，β表示对元素xi中直觉指数对支持和反对证据的倾向性程度，α，β∈［0，1］（取α＝1／4，β＝1／4）在实际应用中，可以根据问题的侧重点而灵活选择α和β的值，只要满足条件α≥0，β≥0且α＋β＝1／2即可。

通过表1可以看出，通过6组典型数据验证，本文所给方法与以上10种相似度量方法在进行知识匹配时，所得结果基本一致，说明本文方法是正确性的、有效的。

此外，在度量数组3、数组4、数组5的相似度时，S*的区分能力明显优于SC、SH、SO、SL、SDC、SHB与SG的匹配结果，进一步提高知识匹配的分辨能力。SHW、SHwang虽然也能进行分辨，但在匹配数组3与数组6时，我们可以直观看出，数组3比数组6中包括的支持度更高，从而得到数组3的相似度大于数组6的相似度，而SHW、SHwang所得结果却是较小，显然与事实相反，也是不符合直觉的。

表1 直觉模糊集之间的各种相似度量方法比较

通过上述典型数据算例验证，本文所给方法不仅考虑了支持、反对、中立3方面的信息，而且还体现了直觉指数对支持、反对及其中立三者的倾向性影响，使其在度量两个知识模式时，信息不丢失，匹配精度值显著提升，具有更强的区分与辨别能力。

4 结 论

本文的主要贡献是从直觉指数对隶属函数的倾向性影响的角度，研究了直觉模糊相似度量方法。通过分析现有直觉模糊相似度量方法，给出了直觉模糊相似度量的几何表示，揭示了文献［7- 15］中直觉指数所表征的中立证据中支持与反对的程度呈均衡状态以及支持与反对之差的程度呈均衡状态时，所得结果无法表述的问题。探讨了满足直觉模糊相似度量的直观约束条件并对其进行了公理化定义。刻画了直觉指数对隶属函数的倾向性影响，构建了基于倾向性的直觉模糊相似度量模型。通过典型算例验证了本文方法的正确性与有效性，并通过数组3～数组6高精度数据匹配实验充分体现了基于倾向性的直觉模糊相似度量方法与其他10种方法相比，具有更强的区分能力和分辨能力。可进一步为近似推理、模式识别、威胁评估等问题提供更高的精度值。

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Intuitionistic fuzzy similarity measure approach based on orientation

WANG Yi1，2，LIU San-Yang1，CHENG Yue-Meng2，YU Xiao-Dong2
（1.School of Mathematics and Statistics，Xidian University，XI’an 710071，China；2.Air Defense and Anti-missile Institute，Air Force Engineering University，Xi’an，710051，China）

A approach to intuitionistic fuzzy similarity measure based on orientation is proposed．Aiming at the deficiency of the present Intuitionistic fuzzy similarity measures．First，the internal relationships of three interacting factors which directly affect intuitionistic fuzzy similarity are revealed and then three-dimensional illustration is presented based on the hypothesis that the supportability and opposability of neutral evidences are in an equilibrium state indicated by the intuitionistic index．Second，the problems that existing intuitionistic fuzzy similarity measures cannot express are analysed，some explicit constraints for intuitionistic fuzzy similarity are given and thus an axiomatic definition of intuitionistic fuzzy similarity measures is put forward．Third，with the revelation of the impact of intuitionistic index on evidence，a approach to intuitionistic fuzzy similarity measure is proposed．Finally，through analyzing and comparing by a set of calculating examples，it is proved that the proposed approach is correct，reasonable and valid．

intuitionistic fuzzy set（IFS）；similarity measures；intuitionistic index；orientation

TP 182；TP 391

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．21

王 毅（1979-），男，讲师，博士，主要研究方向为智能信息处理。E-mail：wangyi．kgd＠gmail．com

刘三阳（1959-），男，教授，博士，主要研究方向为智能信息处理和最优化。E-mail：liusanyang＠126．com

程月蒙（1982-），男，讲师，硕士，主要研究方向为智能信息处理。E-mail：chengmm＠126．com

余晓东（1985-），男，博士研究生，主要研究方向为智能信息处理。E-mail：yuxiaoDong＠163．com

1001-506X（2015）04-0863-05

2014- 11- 07；

2014- 10- 21；网络优先出版日期：2014- 11- 19。

网络优先出版地址：http：／／www．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141119．2150．002．html

国家自然科学基金（61402517）；中国博士后基金（2013M542331）；国家重点实验室开放基金（2012ADL－DW0301）；陕西省自然科学基金（2013JQ8035）资助课题