例说数学探究性教学的几个环节

郭槐香

[摘 要]新课标倡导的自主、合作、探究的学习方式.如何具体进行探究性教学？是一线教师值得探讨的问题.本文结合等比数列前n项和公式的推导，谈探究性教学过程的几个环节.

[关键词]探究性教学 创设情景 启迪思维 反思价值

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）320005

探究性教学是指在教学的过程中，要求学生在教师的指导下，学生通过以“自主、探究、合作”的模式进行学习，主动获取知识，发展能力的实践活动，其目的在于培养学生的思维品质，发展学生的主体意识、创新精神和团结协作的实践能力，使其真正成为学习的主人.

课堂上学生所学的每一个知识点或问题并非都有探究的价值.因此探究的主题必须要有一定的可探究性和可操作性，还要有一定的不确定性和发散性.另外，探究性思维活动的表现需要一定的条件.因此，探究性教学常采用问题教学法.问题成为贯穿整个教学过程的主线，成为教学活动的归宿.这就要求教师在教学的过程中设置问题情境时要及时捕捉、挖掘探究信息，及时将学生的“一闪念”转化为探究主题，促使学生去探究.因而，教学过程应是教师连续、生动地与学生感性认识和理性认识相符合的过程.教师应力图通过自己的“示范”，由学生主动探索、主动思考、亲身体验“活生生”的数学思维活动，揭示出隐藏在具体知识背后的思维方法.同时教师要保护学生的独到见解，让探究学习过程成为学生“自己想方设法解决问题”的过程.实践证明，只有学生愿意学习，主动学习，才能将数学探究课落到实处.

下面以等比数列前n项和公式的推导为例说明探究性教学过程的几个环节.

一、创设探究主题情境

课前导入时，我给学生讲了这样一个故事：传说，在古印度有一位国王，他拥有超人的权力和巨大的财富.但权力和财富最终让他对生活感到厌倦，他渴望着新鲜的刺激.他决定诏告天下，谁能给他带来新鲜的玩意，他就奖赏给谁想要的任何东西.有一天，来了一位老人，他带着自己的发明“国际象棋”来朝见国王.国王见了这新奇的玩意儿，就和老人对下起来.竟然一下上了手，就舍不得放下了，竟留着老人一连下了三天三夜.到了第四天早上，国王感到非常满足，就对老人说道：“你给了我无穷的乐趣.我应兑现我的承诺，你可以在我这儿得到你所要的任何东西.”发明者指着棋盘对国王说：在棋盘的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子里放2颗麦粒，第三个格子里放4颗麦粒，第四个格子里放8颗麦粒……按这样的规律放满64个格子.

二、定向探究主题

按发明者的要求国王要给发明者多少颗麦粒？国王能满足发明者的要求吗？

问题的提出引起了学生极大的兴趣，学生讨论的结果是：

应给发明者20+21+22+23+…+264颗麦粒.

20+21+22+23+…+264是一个什么数学问题呢？

设数列{an}是等比数列，求Sn=a1+a2+a3+…+an.

三、启迪探究思维、渗透探究主题依据

人们常说，万变不离其宗.在数学课堂教学中，这个“宗”就是思维.无论采用怎么样的探究形式，探究的核心都是启迪学生的思维，而思维是从问题开始的，问题既是思维的源泉，更是思维的动力.而没有探究主题依据的探究方案，只会使学生的思维、行动没有目标，不知所措.因此，在组织探究教学时，教师应根据探究内容的特点，调动学生原有的知识，通过前后知识的联系、对比，渗透探究主题依据，努力引导学生发现和提出问题，让学生形成一定的思维指向、行动指向，使探究过程更加有序、高效，从而充分调动学生思维的积极性.

当学生明确要解决的问题是推导等比数列前n项和公式后，教师可积极启发、引导学生思考并回答下列问题：

（1）对等比数列我们都知道些什么？

等比数列的定义及通项公式

a2a1=a3a2=a4a3=

…=anaa-1=q，

an=a1qn-1（a1≠0，q≠0）.

（2）前面我们已经学习了等差数列的前n项和公式，公式的内容是什么？

Sn=n（a1+an）2或Sn=na1+n（n-1）2d.

（3）等差数列的前项和是用等差数列中的哪些特征量表示的？

项数n，首项a1，第n项an，公差d.

（4）把等比数列与等差数列进行对比，猜想，等比数列的前n项和应用哪些特征量表示？

（5）利用等比数列的定义与通项公式及数学知识能推导出Sn=a1+a2+a3+…+an的结果吗？

提出问题表示学生已经从“问题情境”中分离出了一系列相关的问题，紧接着还需调控探究过程，对这些问题进行分析，引导学生围绕探究主题进行定向探究，即进一步明确所要解决的问题实质或关键所在.

四、展示探究主题成果

等比数列的前n项和公式的结论是开放的，让学生对探究的主题加以分析、预测，从事主动的建构活动，给学生充分的独立思考与探究的时间，使学生对新问题，对已有的知识进行信息加工、处理，寻求新的解决办法，感受投身于探究活动的过程是不断利用已有的数学知识去解决实际问题，不断增强学数学用数学的意识，激发起学生学习积极性的过程.教师在学生中巡视，了解学生的探究情况时，要随时调控探究的过程，做到“收”、“放”结合，防止探究偏离主题.待学生有了自己的见解后，及时给予肯定的评价，并与周围的学生展开交流，从而体现数学教学是数学思维过程的教学，用自身的创造活动去感受数学是探究出来的不是教出来的.

方法一：由等比数列的定义及通项公式得：

a1=a1，a2=a1q，a3=a2q，…，an=an-1q.

将n个式子相加得：a1+a2+a3+…+an=a1+q（a1+a2+a3+…+an-1）.

即Sn=a1+q（Sn-an）.整理得（1-q）Sn=a1-anq.

当q=1时，Sn=na1，当q≠1时，

Sn=a1-anq1-q=a1（1-qn）1-q.

学生的推导思路是，联想等差数列的前n项和公式，用基本量首项、公差、项数表示，猜想等比数列的前n项和公式也应该用首项、公比、项数基本量表示.于是结合等比数列的定义及通项公式，数列的前n项和的定义推导出了等比数列的前n项和公式.

方法二：由等比数列的定义得：a2a1=a3a2=a4a3=…=anan-1=q

.

由等比定理得：a2+a3+…+ana1+a2+…+an-1=q（q≠-1）.

又Sn=a1+a2+a3+…+an ∴Sn-a1Sn-an=q（q≠-1）.

整理得：（1-q）Sn=a1-anq.

当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1-anq1-q=a1（1-qn）1-q.

而q=-1当时，n为偶数时Sn=0；n为奇数时Sn=a1，也满足上式Sn=a1（1-qn）1-q.

教师在巡视中发现学生的这种推导方法，但学生没有分类讨论时，可启发性地提示学生由等比定理得到的那个式子是否一定有意义，并引导学生讨论应怎么解决才能得到完美的结论.

方法三：由等比数列通项公式得：a1=a1，a2=a1q，a3=a2q，…，an=an-1q.

∴Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+

a1q2+…+

a1qn-1=

a1（1+q+q2+…+qn-1）.

又∵（1-q）（1+q）=1-q2，（1-q）（1+q+q2）=1-q3，（1-q）（1+q+q2+q3）=1-q4，

……

（1-q）（1+q+q2+q3+…+qn-1）=1-qn.

∴a1（1-q）（1+q+q2+q3+…+qn-1）=a1（1-qn）.

∴（1-q）Sn=a1（1-qn）.

∴当q=1时，Sn=na1，当q≠1时，Sn=a1（1-qn）1-q.

在巡视中发现学生的这种推导方法时，可问学生怎么想到这样推导，引导学生结合结论试着用另外一种方法推导，直接用基本量将等比数列前n项和中的每一项表示出来，引导学生运用平方差公式、立方差公式，公式（1-q）（1+q+q2+q3+…+qn-1）=1-qn得到出结论.

方法四：由等比数列的通项公式及前n项和得定义得：Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）.

当n为偶数时，Sn=a1[（1+q）+q2（1+q）+…+qn-2（1+q）].

=a1[1-q21-q+q2（1-q2）1-q+…+qn-2（1-q2）1-q]=

a1[1-q2+q2-q4+q4-…+qn-2-qn1-q]

=a1（1-qn）1-q（q≠1）.

当n为奇数时，Sn=a1[（1+q）+q2（1+q）+…+qn-3（1+q）+qn-1].

=a1[1-q21-q

+q2（1-q2）1-q+…+qn-3（1-q2）1-q+qn-1

].

=a1[1-q2+q2-q4+q4-…+qn-3-qn-11-q+qn-1

]

=

a1（1-qn）1-q（q≠1）.

故n为任意正整数时，Sn=a1（1-qn）1-q.而当q=1时，Sn=na1.

用这种方法推导的学生，已用法一或法二得到了结论，他是结合结论对Sn=a1（1+q+q2+…+qn-1）作适当的变形，虽然推导看起来比较复杂，但正好说明他不满足于现状，有向同学、教师展示自己成果和才能的欲望，体验到数学学习的乐趣，从而增强学习数学的信心和兴趣.

方法五：由等比数列的通项公式得：

Sn=a1+a2+a3+…+an=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1. ①

给①式两边乘以q，得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn. ②

①减②得：（1-q）Sn=a1-a1qn.

∴当q=1时，Sn=na1；当q≠1时，Sn=a1（1-qn）1-q.

用这种方法推导的学生，也是已得到结论，结合前面推导中的（1-q）Sn=a1-a1qn，把左边的（1-q）Sn写成Sn-qSn，想到两式相减得到结论.

（责任编辑 黄桂坚）