矩阵相似对角化的一个充分条件

陈飞翔

【摘要】介绍了一种矩阵可相似对角化的充分条件——二次多项式法.

【关键词】相似对角化；秩；基础解系

矩阵的相似对角化，是线性代数中一个很重要的内容，本文拟对这一问题给出一个判别法.

1.几个基本概念和基本定理

定义1设A，B都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使得P-1AP=B，则称B是A的相似矩阵.

定理1n阶方阵A与对角矩阵相似（即A能对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.

定理2设Am×nBn×l=0，则R（A）+R（B）≤n.

定理3R（A+B）≤R（A）+R（B）.

2.主要结论

定理设二次方程f（x）=x2+ax+b=0有两个不等的实根，A是n阶方阵且f（A）=0，则方阵A可相似对角化.

分析：定理的条件是A满足一个二次方程，且该二次方程有两个不等的实根.为了证明A可相似对角化，可证A有n个线性无关的特征向量.

证明：若矩阵A是数量矩阵，则命题显然成立.当A不是数量矩阵时，方程x2+ax+b=0有两个不等的实根，则可将该方程分解x2+ax+b=（x-α）（x-β），其中α≠β，由于f（A）=0，即（A-αE）（A-βE）=0，α和β是方阵A的两个不等的特征值，由定理2，R（A-αE）+R（A-βE）≤n.又由定理3，R（A-αE）+R（A-βE）=R（A-αE）+R（-A+βE）≥R（（β-α）E）=n，于是

R（A-αE）+R（A-βE）=n.设R（A-αE）=r，则R（A-βE）=n-r，于是对应特征值λ=α的线性无关的特征向量有n-r个，设为ξ1，ξ2，…，ξn-r，对应特征值λ=β的线性无关的特征向量有r个，设为η1，η2，…，ηr，因对应于不同特征值的特征向量是线性无关的，所以上面两组向量合起来得到的向量组η1，η2，…，ηr，ξ1，ξ2，…，ξn-r线性无关，即A有n个线性无关的特征向量，完成了证明.

3.定理的应用

例1设n阶方阵A是幂等矩阵，即满足A2=A，证明：A可相似于一个对角阵.

证明因为矩阵方程A2-A=0，且对应的二次多项式x2-x=0有两个不等的实根，于是由本文的结论知，A可相似对角化.

例2设方阵A满足A2+2A-3E=0，证明：A可相似于一个对角阵.

证明二次方程x2+2x-3=0有两个不等的实根，结论成立.

【参考文献】

同济大学应用数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2007.