高等数学背景下的考题

杨相春

【摘要】高考命题的专家越来越重视初、高等数学知识的衔接，用初等数学方法来解答，往往蕴含着丰富的数学思想，对于训练思维非常有好处.从线性变换、不动点和凹凸函数三个方面给出例证.

【关键词】高等数学；高考；数学思想

随着新课改的不断推进，参与高考命题的专家越来越重视初、高等数学知识的衔接，很多高考题、模拟题的命制都喜欢有着高等数学背景的定理，这些看起来抽象、高深的定理下放到中学试卷中，用初等数学方法来解答，往往蕴含着丰富的数学思想，对于训练思维非常有好处.

下面我将从线性变换、不动点和凹凸函数三个方面给出例证.

一、线性变换

例（2009四川卷）设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）.若映射f：V→V满足：对所有a，b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换，现有下列命题：

①设f是平面M上的线性变换，a，b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；

②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；

③对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换；

④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）.

其中的真命题是.（写出所有真命题的编号）

解析

理解何为“平面M上的线性变换”，是解题关键，对于①④可用特殊值验证，对于②③抓住定义即可.

对①，令λ=μ=1，则有f（a+b）=f（a）+f（b），故①是真命题.

对②，f（b）=b+e，且f（λa+μb）=λa+μb+e，而λf（a）+μf（b）=λ（a+e）+μ（b+e）=

λa+μb+（λ+μ）e，但λ+μ不恒等于1，故②是假命题.

对③，有f（b）=-b，則f（λa+μb）=-（λa+μb）=λ（-a）+μ（-b）=λf（a）+μf（b）是线性变换，故③是真命题.

对④，令λ=k，μ=0，则f（ka）=kf（a），故④是真命题.

认清“平面M上的线性变换”定义是解出这道题的关键.

二、不动点

例对于f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0是f（x）的不动点.已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）（a≠0）.

（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；

（2）对任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围.

解析（1）a=1，b=-2时，f（x）=x2-x-3，若x0是f（x）的不动点，则x02-x0-3=x0，解得x0=-1或x0=3，所以-1和3是f（x）=x2-x-3的两个不动点；

（2）因为f（x）有两个相异的不动点，所以方程f（x）=x有两个不同的解，所以

f（x）=ax2+（b+1）x+（b-1）=x，即ax2+bx+（b-1）=0有两个不等的实根，所以

Δ=b2-4a（b-1）>0成立，即对任意b∈R，b2-4ab+4a>0恒成立，所以（-4a）2-4·4a<0，

所以0

只要认清了不动点的定义，这道题很容易用初等数学知识解答.

三、凹凸函数

近年高考出现了一类函数——凹凸函数，为更好的体现直观性，给出定义：函数f（x）在区间D=[a，b]内，若x1，x2∈D时有：

fx1+x22

fx1+x22>f（x1）+f（x2）2（x1≠x2），则称f（x）在D内为凸函数.

从定义可以看出“凹函数”图像是向下凹的，“凸函数”图像则是上凸的.

例在y=2x，y=log2x，y=x2，y=cos2x这四个函数中，当0f（x1）+f（x2）2恒成立的函数的个数是（）.

A.0B.1C.2D.3

解析在区间（0，1）是满足fx1+x22>f（x1）+f（x2）2的函数是凸函数，上述四个函数中只有y=log2x在区间（0，1）上是凸函数，故选B.

出现高等数学背景下的考题时，考生首先是要冷静分析试题，因为这类题目多为新题，是考生平时没见过的内容，因此认清题目考查的本质，从初等数学中找出解题的突破口.期待更多的高等数学背景下的考题出现在高中，这样能更好地考查、锻炼学生的分析、理解问题的能力.