HPM视角下无理数的教学

张苗玲

【摘要】无理数是初等数学教学中的重要内容，也是一个值得探究的问题.本文以无理数的教学为例，通过四个教学片段，探索怎样进行HPM视角下无理数的教学，希望这个探索为教师教学提供参考案例，将数学史的作用发挥到最大.

【关键词】HPM；无理数；教学

一、无理数历史及HPM简介

早在2000年前古希腊有一个毕达哥拉斯学派，他们提出了一个理论：万物皆数，即我们所知道的一切事物都归结为整数或者整数比；即任何两条给定的线段，都能找到作为单位线段的第三线段，可把给定的两条线段划分为整数段，这样的两条线段称为可公度量.反之称为不可公度量.毕达哥拉斯学派是数学界的权威，这个理论在全世界都受到了推崇，但这个学派的一个门徒希伯索斯，发现了这样一个事实，x2=2，那么x的值既不是分数也不是整数.后来，其学派发现并不是任何线段都可公度，并用反证法证明了1与2不能公度.这个发现否定了其学派万物皆数的信条，他们试图封锁这一发现，然而希伯索斯早已将这个发现偷偷传播出去.为此，他被围捕并投进了大海，献出了生命.很快，人们就发现了除2以外的其他一些无理数，古希腊的数学信仰的基础也因此而被动摇啦，被称为第一次数学危机.这一危机由欧多克重新定义比例论而得到暂时的缓解.人们一直认为这种数是不可理喻的数，直到19世纪后期，康托尔、戴德金等数学家为无理数建立了坚实的逻辑基础，伴随着数学分析的进一步发展，人们才认同无理数.HPM指数学史与数学教学关系，是（HistoryandPedagogyofMathematics）的简称.主要研究内容包括：数学教育取向的数学史研究、基于数学史的教学设计、关于相似性的实证研究和数学史融入数学教学的实践探索”.

二、HPM视角下无理数的教学片段

通过介绍无理数的发展历史，引导学生经历无理数从发现到发展的历史，将其研究的方法、内容重构并应用实际的教学，体会数学史及文化的魅力.

第一环节：创设情境

折纸活动：拿出边长为2cm的正方形纸片，按图所示的方式折.阴影部分的正方形的面积是多少？边长是多少？通过折纸发现小阴影正方形的面积为2cm2，边长为2.那2究竟是什么数呢？

古希腊毕达哥拉斯学派的希伯索斯也是这样，发现了无理数.中国最早记录无理数的发现的《九章算术》在“少广”章中的“开方术”中给出了开平方的算法；开方不尽的数叫做“面”.情境中的边长，在《九章算术》中可以称面积为2的正方形的边长为2“面”.

第二环节：无理数的探索

探索1：2有多大，有哪些与众不同呢？

方法1：估数法：12=1，（2）2=2，22=4；可以看出1<2<2.方法2：试数逐渐逼近法.计算器计算：1.4，1.41，1414，1.41421…的平方大小，2根据更接近哪个呢？2=1.414213562；1.4142135622=1.999999999.1.41423562不是2的算术平方根，计算器算错了吗？

想一想：计算器只显示8位数位，不是全部数据，只是一个近似值.对比有理数的概念，给出无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数.无理数的定义，是史托尔茨在《一般算术教程》中证明的.现在，我们也是这样定义无理数的.方法2的理论源于刘徽在注释《九章算术》的开方术时提出的求微数，即用十进分数求无理数近似值的方法.

探索2：无理数特征的探索

12，4.878787…，9π+2，67，6，0.23030030003（两个3之间依次多1个0），7，-12这些都是无理数吗？总结无理数的特征：1.开不尽方的数；2.圆周率π及一些含有π的数；3.有一定的规律，但不循环的无限小数.4.无理数也有正负之分.此种设计有利于培养学生的批判性思维.

第三环节：拓展深化-探索无理数的真实存在性

有理数在数轴上都能找到对应的点，那无理数如2，3等能否在数轴上找到相对应的点并数轴上表示呢？借助尺规作图，演示2，3，5与数轴上的点的对应关系；动手操作，体会数形结合的魅力.

第四环节：提炼思想-课后探究

参照课程标准设计如下习题，让学生更好的掌握无理数的内容；

1若无理数a满足不等式1

2已知M是满足不等式x≤27-33的最大整数，N是满足不等式-3

三、结论与反思

人的认识过程与人类认识的过程是基本一致的，所以我们要了解数学发生和发展，才能更加懂得怎样安排学习顺序，应该选择哪些内容用于教學.才能让学生更好的了解数学的来龙去脉，体会其发展过程中蕴含的数学思想，真正领会到数学的魅力；充分的激发学生的学习兴趣.HPM可为数学教学的设计提供了一个新的视角，解决数学史在教学运用中存在的困难，其研究具有重要意义.

【参考文献】

[1]潘亦宁.无理数发展简史[J].中学数学杂志，2008，4：64-65.

[2]汪晓勤.HPM研究的内容和方法[J].数学教育学报，2006，2（1）：18.

[3]陈曦，张海玲，王尚志.HPM视角下“任意角三角函数的概念”教学研究[J].首都师范大学学报（自然科学版），2014，12（6）：27.